2025届高三数学一轮复习夯实练47：平面向量的综合应用

课一轮复习夯实练47　平面向量的综合应用 基础练 1.已知点P为△ABC所在平面内一点,且+t(t∈R),若点P落在△ABC的内部,则实数t的取值范围为(　　) A.(0,) B.() C.(0,1) D.(0,) 2.(2024·广东珠海模拟)P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.(2022·北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是(　　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 4.(2024·北京昌平高三期末)已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=1,<a,b>=,(c-a)·(c-b)=0,则|c|的最大值是(　　) A.-1 B. C. D.+1 5.在△ABC中,AB=3,AC=4,点P是△ABC的外心,则=(　　) A.3 B. C.4 D. 6.已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(1,0),则||的取值范围是　　　　　.  7.(2020·天津,15)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ=-,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则的最小值为　　　　.  提升练 8.(2024·湖南益阳模拟)如图所示,边长为2的等边三角形ABC,以BC的中点O为圆心,BC为直径在点A的另一侧作半圆弧,点P在圆弧上运动,则的取值范围为(　　) A.[2,2] B.[2,5] C.[2,4] D.[4,3] 9.(2024·河北唐山模拟)如图,在△ABC中,D是线段BC上的一点,且=4,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若=λ=μ(λ>0,μ>0),则μ-的最小值是(　　) A. B. C.-7 D. 创新练 10.(2022·浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则+…+的取值范围是　　　　　.  参考答案 1.D　解析 因为点P落在△ABC的内部,所以A,P两点在直线BC的同一侧,所以+t<1,且t>0,所以0<t<故选D. 2.B　解析 由||-|-2|=0,可得||=|-2|,即||=||,||=||,把等式||=||两边平方,化简得=0,,|AB|与|AC|大小无法判断,因此,只能得出△ABC是直角三角形. 3.D　解析 依题意建立如图所示平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4), 因为PC=1,所以点P在以C为圆心,1为半径的圆上运动.设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π],则=(3-cos θ,-sin θ),=(-cos θ,4-sin θ),所以=(-cos θ)×(3-cos θ)+(4-sin θ)×(-sin θ)=cos2θ-3cos θ-4sin θ+sin2θ=1-3cos θ-4sin θ=1-5sin(θ+φ),其中sin φ=,cos φ=因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6,即[-4,6]. 4. C　解析 把a,b平移到共起点,以b的起点为原点,b所在的直线为x轴,与b所在直线垂直的直线为y轴,建立如图所示坐标系,设=b,=a,=c,则c-a=,c-b=又(c-a)·(c-b)=0,所以AC⊥BC,则点C的轨迹为以AB为直径的圆,又因为|a|=,|b|=1,<a,b>=,所以B(1,0),A(1,1),故以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-)2=,所以|c|的最大值就是以AB为直径的圆上的点到原点距离的最大值,所以最大值为 5.B　解析 取BC的中点D,连接AD,PD(图略),则PD⊥BC),=())·()=)=故选B. 6.[1,5]　解析 因为AB⊥BC,所以AC为圆的直径.以AC中点O为原点,建立平面直角坐标系(图略).设B(x,y)(-2≤x≤2),则=(-1,0),=(x-1,y),所以=2=(x-3,y),故||=|2|=,所以当-2≤x≤2时,1≤13-6x≤25,15,故1≤||≤5. 7　解析 =,==λ||||·cos 120°=λ×6×3=-,∴λ=令=(0<),则==-+=-==[(μ-]·()=μ||2-+||2=369+9=36μ2-6μ-18μ+=36μ2-24μ+=36又0<,∴当μ=时取最小值 8. B　解析 过点O作OD∥AB交半圆弧于点D,连接AO,OP,如图.因为△ABC是正三角形,则∠BOD=,令夹角为θ,当点P在弧BD上时,0,当点P在弧CD上时,0,于是-cos θ≤1,显然AO=,OP=1,∠OAB=,所以()==|