2.3 课时2 空间向量线性运算的坐标表示课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.3 空间向量基本定理及坐标表示 1 课时2 空间向量线性运算的坐标表示 2 1.掌握空间向量加减运算和数乘运算的坐标表示.（数学抽象、数学运算） 2.理解两空间向量平行的判定.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.类比平面向量加减运算的坐标表示，思考空间向量加减运算该如何用坐标表示？ [答案] 两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（或差）. 2.类比平面向量数乘运算的坐标表示，思考空间向量数乘运算该如何用坐标表示？ [答案] 一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标. 3.类比两平面向量平行的坐标关系，思考如果两空间向量平行，那么它们的坐标存在什么样的关系？ [答案] 的充要条件是存在唯一的实数 ，使,即与 相应坐标成倍 数关系. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同. ( ) × （2）若，，，则 . ( ) × （3）若向量,，则 . ( ) √ 2.已知向量，，则 ( ) . B A. B. C. D. [解析] ，， . 自主预习 5 3.下列向量中与向量 平行的向量是( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为，，A，C，D选项均不符合的形式，只有满足 ，故选B. 自主预习 6 探究1 空间向量的线性运算的坐标表示 问题1： 设,，如何求， ？ [答案] 因为 ， 所以 . 同理可得 . 合作探究 7 问题2： 平面向量坐标的线性运算与空间向量坐标的线性运算有什么联系与区别？ [答案] 平面向量坐标的线性运算与空间向量坐标的线性运算是相同的，但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的. 合作探究 8 新知生成 设， ，空间向量的坐标运算法则如下： 1.空间向量加、减运算的坐标表示 （1）语言叙述：两个向量和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和（或差）. （2）符号叙述： ， . 2.向量的数乘运算 （1）语言表示：一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标. （2）符号表示:， . 合作探究 9 新知运用 例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体， ， ， .求： （1）向量，， 的坐标； （2）， 的坐标. [解析] （1）由已知,,, ， 则，， . （2） , . 合作探究 10 1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2. 在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘的坐标运算公式进行计算即可. 合作探究 11 已知点，，， ，求： （1），， ； （2） . [解析] （1）由题设， ， ， . （2）由（1）可得， . 合作探究 12 探究2 向量平行的坐标表示 问题1： 若，，为什么不一定能推出 成立？ [答案] 因为当的三个坐标有0时，有些分式无意义.当 的三个坐标都不为0时， 才成立，否则有些分式无意义. 合作探究 13 问题2： 已知点在直线上，， 为实数，当点在直线 的不同位置 时， 的取值范围是什么？ [答案] 当点在线段上（不与端点重合）时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的反向延长线上时，； 当点与点重合时，； 当点与点重合时， . 合作探究 14 新知生成 已知为非零向量，， ， 则,, . 合作探究 15 新知运用 例2 已知，，且与平行，求实数 的值. [解析] （法一）因为，所以 ，所以 ， 因为与不平行，所以所以 . （法二）由已知得， ， ， 因为 ， 所以，解得 . 合作探究 16 向量平行问题主要有两种题型：（1）平行的判断；（2）平行的应用，如 求参数.解题时要注意：①适当引入参数（比如向量，平行，可设 ），建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 合作探究 17 已知，，三点在同一条直线上，则 ___. 5 [解析] 根据题意得 ， ， 与共线， ， ， 解得 . 合作探究 18 探究3 求点的坐标 例3 已知是坐标原点，，，三点的坐标分别为，， . （1）若，求点 的坐标； （2）若是线段上的一点，且，求点 的坐标. [解析] （1）， ， ， 点的坐标为 . 合作探究 19 （2）由是线段上的一点，且 ， 得 . 设点的坐标为，则， ， 故 ， 即解得 因此点的坐标为,, . 合作探究 20 求点的坐标，是向量线性运算的坐标表示的综合应用，解题关键：一是直 接根据向量线性的坐标