2.3 课时1 空间向量的分解与坐标表示课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.3 空间向量基本定理及坐标表示 1 课时1 空间向量的分解与坐标表示 2 1.了解空间向量基本定理及其意义.（数学抽象、直观想象） 2.理解共面向量与向量线性运算之间的关系.（逻辑推理） 3.理解空间向量的正交分解、坐标表示.（数学抽象、数学运算） 学习目标 3 1.平面中的两个非零向量在什么情况下平行呢?为什么平行向量也称为共线向量呢？ [答案] 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，也叫共线向量.任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，所以平行向量也称为共线向量. 2.空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，什么情况下三个空间向量共面呢? [答案] 能平移到同一个平面内的三个向量是共面的. 自主预习 4 3.平面内两个不共线向量，，若平面内任意一个向量与，共面，则， ， 这三个向量之间存在怎样的关系呢? [答案] . 4.在三个向量，， 中，某个向量为 ，或者某两个向量平行，请问这三个向量是否 共面？ [答案] 这三个向量共面. 5.类比平面向量基本定理，叙述空间向量基本定理. [答案] 设，，是空间中三个不共面的向量，则空间任一向量 可以分解成这三 个向量的实数倍之和： . 自主预习 5 6.如果，为空间直角坐标系内任意两点，那么 的坐标如何表示呢? [答案] . 自主预习 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基. ( ) × （2）若，，为空间的一组基，则，， 也可构成空间的一组基. ( ) √ （3）若，，不能构成空间的一组基，则，， 共面. ( ) √ 自主预习 7 2.在长方体 中，可以构成空间的一组基的是( ) . C A.，， B.，， C.，， D.，， [解析] 由题意知，，， 可以构成空间的一组基. 3.在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是 上一点， ，以，，为空间的一组基，则 ____________________. [解析] 设的中点为 ，则 . 自主预习 8 探究1 共面向量 问题1： 空间中任意两个向量是共面向量，则空间中任意三个向量是否共面？ [答案] 不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 合作探究 9 问题2： 对于两个不共线的空间向量，，如果，那么向量与向量， 有什么位置关系？反之，当向量与向量，是什么位置关系时， ? [答案] 向量与不共线的向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 . 问题3： 对于不共线的三点，，和平面外的一点，空间中一点 满足关系式 ，则点在平面 内的充要条件是什么？ [答案] . 合作探究 10 新知生成 1.共面向量 一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量基本定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量， 共面的充要条件是存在有序数组 ，使得 . 注意：在三个向量，， 中，若某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向 量共面. 合作探究 11 新知运用 例1 在长方体中，是棱的中点，是面对角线与 的交点. 试判断向量与， 是否共面. [解析] 根据空间向量的运算法则，可得 ， 又由空间向量的共面定理，可得向量与， 共面. 合作探究 12 利用共面向量基本定理判断三个向量是否共面的关键是熟记平面向量的共 面定理，准确化简、运算. 合作探究 13 如图所示，已知矩形和矩形 所在的平面互相垂直，点 ，分别在对角线，上，且， . 求证:向量，， 共面. 合作探究 14 [解析] 因为点在上，且 ， 所以 . 同理 . 所以 . 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，， 共面. 合作探究 15 探究2 空间向量基本定理 问题1： 空间中怎样的向量能构成基? [答案] 空间任意三个不共面的向量都可以组成空间向量的一组基. 问题2： 基与基向量的概念有什么不同? [答案] 一组基是指一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. 合作探究 16 问题3： 为什么空间向量基本定理中，， 是唯一的? [答案] 平移向量，，，，使它们共起点，如图所示，以 为 体对角线，在，， 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体 是唯一的，因此在，，方向上的分解是唯一的，即，， 是唯一的. 问题4： 构成基的三个向量中，可以有零向量吗? [答案] 不可以.因为基是不共面的三个向量，而零向量与任意向量均共面，所以构成基的三个向量中不能有零向量. 合作探究 17 问题5： 如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系? [答案] 空间向量的坐标运算与平面向