2.2 课时1 空间向量及其运算课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算 1 课时1 空间向量的概念及线性运算 2 1.理解空间向量的有关概念.（数学抽象） 2.掌握空间向量的线性运算.（数学运算） 3.掌握共线向量定理及其应用.（数学运算、逻辑推理） 学习目标 3 1.回忆一下平面向量是怎么定义的？ [答案] 在平面中，具有大小和方向的量叫作平面向量. 自主预习 4 2.回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题： （1）如图，该向量如何表示？其模如何表示？ [答案] 该向量表示为或.其模记为或 . （2）零向量和单位向量如何定义？ [答案] 长度为0的向量叫作零向量；模为1的向量叫作单位向量. （3）平面中某两个长度一样但方向相反的向量是什么向量？ [答案] 相反向量. （4）平面中某两个向量平行或重合，这两个向量称为什么向量? [答案] 共线向量或平行向量. （5）方向相同且模相等的向量称为什么向量？ [答案] 相等向量. 自主预习 5 3.平面向量的运算律有哪些？ [答案] 平面向量的线性运算满足的运算律：交换律、结合律和分配律. 4.对任意两个平面向量，，如果，那么与 有什么位置关系？反过来， 当，有什么位置关系时， ？ [答案] 对任意两个平面向量，，的充要条件是存在实数 ，使得 . 自主预习 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在空间中，任意一个向量都可以进行平移. ( ) √ （2）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线. ( ) √ （3）空间向量的加减运算的结果不一定是向量. ( ) × （4）共面向量一定平行. ( ) × 自主预习 7 2.下列说法中正确的是( ) . D A.任意两个空间向量都可以比较大小 B.由于0方向不定，故0不能与任何向量平行 C.若，则与 共线 D.空间向量的模可以比较大小 [解析] 任意两个空间向量都不能比较大小，故A错误;规定0的方向是任意的，与任何 向量平行，故B错误;与 的模相等，但方向不确定,故C错误;因为向量的模是一个实数， 所以可以比较大小，故D正确. 自主预习 8 3.在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量 的模 相等的向量有( ) . A A.7个 B.3个 C.5个 D.6个 [解析] 由平行六面体的定义可知几何体各个面均为平行四边形， ，则与向量 的模相 等的向量有，，，，，， ，共7个. 4.已知在空间四边形中，，，，则 ( ) . C A. B. C. D. [解析] . 自主预习 9 探究1 空间向量的基本概念 已知一个正三角形钢板，三个顶点用等长的绳子绑起，在力 的 作用下匀速上升，三根绳子的受力情况如图所示. 问题1： 在物理学中，力是什么量？这三个力共面吗？这三个力在数学上叫什么？ [答案] 力是矢量；这三个力不共面；这三个力在数学上叫空间向量. 合作探究 10 问题2： 你能否根据平面向量的定义，试着叙述一下空间向量的定义？ [答案] 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 问题3： 这两个定义有何区别？本质是否相同？ [答案] 定义的区别：平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内，一个在空间中.本质相同：空间中的一个向量一定能够平移到平面中，因此，空间中的一个向量既是平面向量也是空间向量. 合作探究 11 新知生成 1.空间向量 把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，空间向量 的大小（或长度）称为向量 的模，记为 . 2.相等向量 从不同点出发的向量，只要它们的方向相同且长度相等，就称它们为相等向量. 3.相反向量 方向相反、长度相等的向量称为相反向量. 合作探究 12 新知运用 例1 如图所示，以长方体 的八个顶点的两点为始 点和终点的向量中. （1）试写出与 相等的所有向量； （2）试写出 的所有相反向量； （3）若，，求向量 的模. 方法指导（1）根据相等向量、相反向量的概念求解;（2）根据模的概念以及空间几何体的线面性质求解. 合作探究 13 [解析] （1）与向量相等的所有向量（除它自身之外）有，， . （2）向量的相反向量有，，， . （3）因为，所以 . 合作探究 14 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关 概念完全一致.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等;两向量互为相反 向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反. 合作探究 15 如图所示，在平行六面体 顶点连接的所有向量中， 与向量相等的向量有_______________；与向量 相反的向量 有____________________.（要求写出所有适合条件的向量