第17章 专题5 模型拓展2——勾股定理的证明（内文）-【教与学·学导练】2023-2024学年八年级下册数学同步课件（人教版）

2024最新修订 数学 八年级 下册 配人教版 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 第十七章　勾股定理 章节复习课 专题五　模型拓展2——勾股定理的证明 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 01 模型解读 02 针对训练 目 录 CONTENTS 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 思想点拨： 根据拼图可知，梯形的面积等于3个直角三角形的面积之和，将关系式用字母表示出来，化简后，即可证明勾股定理. 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 1. 数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动.已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ ABE 和Rt△ DEC 按如图D17－5－1所示摆放，使点 A ， E ， D 在同一条直线上，其中∠ A ＝∠ D ＝90°，即可借助图中几何图形的面积关系来证明 a 2＋ b 2＝ c 2.请写出证明过程. 图D17－5－1 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 证明：如答图D17－5－1，连接 BC . ∵Rt△ ABE ≌Rt△ DEC ， ∴∠ AEB ＝∠ DCE ， BE ＝ EC ＝ c . ∵∠ D ＝90°，∴∠ DCE ＋∠ DEC ＝90°. ∴∠ AEB ＋∠ DEC ＝90°.∴∠ BEC ＝90°. ∴△ BEC 是等腰直角三角形. ∵ S 梯形 ABCD ＝ S Rt△ ABE ＋ S Rt△ CDE ＋ S Rt△ BEC ， 答图D17－5－1 ∴ a 2＋ b 2＝ c 2. 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 返回目录 类型二：梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c . 把它们拼成如图所示的一个多边形，使 D ， E ， F 在一条直线上. 过点 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P . 思想点拨： 利用正方形的判定易得四边形 ABEG ，四边形 BDPC ，四 边形 HPFG 分别为边长为 c ， a ， b 的正方形.则空白部分面积既可以表 示为正方形 ABEG 的面积减去两个直角三角形的面积，也可以表示为正 方形 BDPC 与正方形 HPFG 的面积和减去两个直角三角形的面积，将关 系式进行化简即可证明勾股定理. 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 2. 如图D17－5－2所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运 用了祖冲之的出入相补原理.若图中空白部分的面积是15，整个图形 （连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（　 　） 图D17－5－2 B 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 类型三：欧几里得证明 在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，分别以边 AB ， BC ， AC 为边在△ ABC 外部作正方形 ADEB ，正方形 CBFG ，正方形 ACHI . 思路点拨：过点 C 作 DE 的垂线，将正方形 ADEB 分成两个矩形，通过证明这两个矩形的面积分别与正方形ACHI ，正方形 CBFG 的面积相等，得到正方形 CBFG 与四边形 ACHI 的面积和等于正方形 ADEB 的面积，进而得出 AC 2＋ BC 2＝ AB 2. 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 3. 勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.下面是《几何原本》中证明勾股定理的几个步骤：如图D17－5－3，分别以Rt△ ABC 的三边为边长作正方形 ABFE ，正方形 AJKC ，正方形 BCIH ，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 于点 D ，交 FE 于点 G ，连接 HA ， CF . ①证明△ ABH ≌△ FBC ；②证明正方形 BCIH 的面积与四边形 BFGD 的面积相等；③证明 AC 2＋ BC 2＝ AB 2.根据上述步骤，请你完成勾股定理的证明. 图D17－5－3 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 下册 配人教版 证明：①∵四边形 ABFE 和四边形 CBHI 是正方形， ∴ AB ＝ FB ， HB ＝ CB ，∠ ABF ＝∠ CBH ＝90°. ∴∠ CBF ＝∠ HBA . ∴△ ABH ≌△ FBC （SAS）. 图D17－5－3 教与学 学导练 数学 八年