北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题

北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期 3月阶段测试数学试题 2024年3月 姓名   班级   考号   （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．下列量中是向量的为（ ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 2．已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．设，其中是实数，则的值为（ ） A．1 B． C． D．2 4．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（ ） A．0 B． C． D．不存在这样的向量 5．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 6．如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑"是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（ ） A． B． C． D．3 8．已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于（ ） A． B． C． D． 9．复数满足条件，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D．16 10．已知向量满足，，则的最大值等于（ ） A． B． C．2 D． 二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。 11．复平面上，点对应的复数  . 12．已知平面向量，，若.则  . 13．写出一个与向量共线的单位向量  . 14．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则  . 15．已知非零向量，满足，则的夹角为  . 16．设复数满足，则的取值范围是  . 三、解答题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求. 18．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，已知  . （1）求； （2）若的外接圆半径为2，且，求. 注：如果选择条件①、②分别解答，按第一个解答计分. 19．已知集合.对于，给出如下定义：①；②；③与之间的距离为.说明：的充要条件是. （1）当时，设，求； （2）若，且存在，使得，求证：； （3）记.若，且，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1页/共3页 北京市第八十中学 2023～2024 学年第二学期阶段测评 高一数学 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A B B C A C A 二、填空题 11 12 13 14 15 16 2-i − 3 2 (− 3 5 , 4 5 ) √3 𝜋 3 [1, √10] 三、解答题 17．【分析】（1）直接利用余弦定理关系式的变换求出 ，进一步求出 B的值； （2）利用正弦定理和同角三角函数的基本关系式的应用求出结果． 【解答】解：（1）由于 ，整理得 ； 由于 0＜B＜π； 故 ； （2）由于 b＝5， ， 所以 ， 利用正弦定理 ，整理得 ． 18．【分析】（1）若选①，由题意及正弦定理可得 cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；若选②， 由正弦定理及两角和的正弦公式，可得 cosB的值，再由角 B的范围，可得角 B的大小； （2）由正弦定理可得 a，c的表达式，进而可得 ac的值，再由余弦定理可得 a+c的值． 【解答】解：（1）若选①，由正弦定理可得 2sinBcosA＝2sinC﹣sinA， 在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 所以 2sinAcosB＝sinA， 因为 sinA≠0， 可得 cosB＝ ，而 B∈（0，π）， 可得 B＝ ； 若选②，因为 bcosC＝（2a﹣c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC＝2sinAcosB﹣sinCcosB， 可得 sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB， 即 sin