17 2025届高三数学一轮复习夯实练46：平面向量的数量积

一轮复习夯实练46　平面向量的数量积 基础练 1.(2024·湖北武汉模拟)平面向量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,则|a-b|=(　　) A.6 B.5 C.2 D.2 2.(2022·全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2022·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 4.(2024·广东广州模拟)设两个单位向量a,b的夹角为θ,若a在b上的投影向量为b,则cos θ=(　　) A.- B. C.- D. 5.(2024·福建厦门模拟)平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,<F1,F2>=120°,则|F3|=(　　) A. B.1 C. D.2 6.(2024·河北唐山模拟)正方形ABCD边长为4,M为CD中点,点N在AD上,=20,则||=(　　) A. B.2 C.5 D.10 7.(多选题)(2024·山东济南模拟)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则(　　) A.|a|= B.(2a-b)⊥b C.a与b的夹角为钝角 D.a在b上的投影向量的模为 8.(2024·山东威海模拟)已知向量a=(2,1),b=(0,1),c=a+tb,若a·c=6,则t=　　　　.  9.(2022·全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　　.  10.(2024·浙江宁波模拟)已知|a|=1,|a-b|=2,a⊥b,则a+b与a-b的夹角为　　　　.  提升练 11.(2024·安徽淮南模拟)在△ABC中,已知∠ACB=,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满足,则=(　　) A.- B.-1 C. D. 12.(多选题)(2024·广东梅州模拟)已知向量a=(2,1),b=(cos θ,sin θ),c=(0,1),则下列命题正确的是(　　) A.当且仅当tan θ=时,a∥b B.a在c上的投影向量为c C.存在θ,使得b=a-c D.存在θ,使得|a+b|=|a-b| 13.已知|a|=,|b|=1,且a与b的夹角为45°,若向量(2a-λb)与(λa-3b)的夹角是锐角,则实数λ的取值范围是　　　　　　　　.  创新练 14.(2024·安徽合肥模拟)哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格,它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃,如图所示的几何图形,在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见,它是由线段AB和两个圆弧AC,BC围成,其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为B,圆O与线段AB及两个圆弧均相切,若AB=2,则=(　　) A.- B.- C.- D.- 参考答案 1.B　解析 因为a=(-2,k),b=(2,4),a⊥b,所以a·b=-2×2+4k=0,解得k=1,所以a-b=(-2-2,1-4)=(-4,-3),因此|a-b|==5. 2.C　解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1. 3.C　解析 由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故,解得t=5.故选C. 4.B　解析 因为a在b上的投影向量为b,所以b, 又a,b是两个单位向量,即|a|=|b|=1, 所以a·b=, 所以cos θ= 5.C　解析 由已知,可得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).因为F1=(1,0),所以|F1|=1,所以F1·F2=|F1|·|F2|cos<F1,F2>=1×2×(-)=-1,所以|F3|2=+2F1·F2=1+4-2=3,所以|F3|= 6.C　解析 设=(λ∈R),因为+因为正方形ABCD边长为4,=0,所以=()·(+)=16λ+8=20,解得λ=,所以||==5. 7.AD　解析 A选项,|a|=,A正确;B选项,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b与b不垂直,B错误;C选项,cos<a,b>=>0,故a与b的夹角为锐角,C错误;D选项,a在b上的投影向量的模为,D正确.故选AD. 8.1　解析 由题意知,c=a+tb=(2,1+t),因为a·c=6,所以a·c=2×2+(1+t)=6,解得t=1. 9.11　解析 设a与b的夹角为θ,因为a与b的夹角的余弦值为,即cos θ=,又|a|=1,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|c