1.3 课时4 导数的应用举例课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1 课时4 导数的应用举例 2 1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法.（数学运算） 2.提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力.（数学建模、 数学运算） 学习目标 3 某厂家计划用一种材料生产一种盛 溶液的圆柱形易拉罐. 1.生产这种易拉罐，如何计算材料用量多少呢？ [答案] 计算出圆柱的表面积即可. 2.如何制作使用材料才能最省？ [答案] 要使用料最省，只需圆柱的表面积最小.可设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的表 面积，求 的最小值时，只需知道圆柱的半径、高即可. 自主预习 4 3.在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，那么函数在该点处取最值吗？ [答案] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值. 自主预习 5 1.某公司的盈利（元）和时间（天）的函数关系是，且 ，这个 数据说明在第100天时,( ) . C A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加 C.公司的盈利在逐渐减少 D.公司有时盈利有时亏损 [解析] 因为，所以函数的图象在 处的切线的斜率为负值，说 明公司的盈利在逐渐减少. 自主预习 6 2.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式 为 ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) . C A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 [解析] ，令，解得或（舍去）.当时，；当时，.所以当时， 取得最大值. 自主预习 7 探究1 面积、容（体）积有关的最值问题 例1 如图所示，是边长为 的正方形硬纸片，切去 阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起， 使得，，，四个点重合于图中的点 ，正好形成一个正 四棱柱形状的包装盒，，在 上是被切去的等腰直角三 角形斜边的两个端点，设 . 合作探究 8 （1）求包装盒的容积关于 的函数表达式，并求出函数的定义域. （2）当为多少时，包装盒的容积 最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. [解析] （1）设包装盒的高为,底面边长为 , 则,, ， 所以 ， 其定义域为 . 合作探究 9 （2）由,可得 . 令，解得 . 当时,;当时, . 所以当时,取得极大值，也是最大值，最大值为 . 故当时,包装盒的容积最大，最大值为，此时，，故包装盒的高与底面边长的比值为 . 合作探究 10 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为 变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. 合作探究 11 如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四 边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱 柱容器的底面边长为__时，其容积最大. 合作探究 12 [解析] 设被切去的全等四边形的一边长为 ，如图所示，则正六棱柱 的底面边长为，高为 ， 所以正六棱柱的体积 ，则 ， 令，得（舍去）或 ， 所以当，时，;当，时， . 故当时，有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为 . 合作探究 13 探究2 费用（用材）最省问题 例2 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场块时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用 来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该网球中心应建几个球场？ 合作探究 14 [解析] 设建成个球场，，且, 则每平方米的购地费用为 （元）， 因为每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用 来表示， 所以每平方米的综合费用为 ， 所以 ， 令，解得 ， 当时，；当时， . 所以当 时，函数取得极小值，且为最小值. 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省. 合作探究 15 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需 要利用导数求解相应函数的最小值.根据 求出极值点（注意根据实际意义舍去 不合适的极值点）后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所 求函数的最小值. 合作探究 16 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （单位：升）关于行驶速度 （单位：千米/时）的函数解析式可以表示为， ， 且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以____千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地的耗油量最少. 80 合作探究 17 [解析