1.3 课时3 三次函数的性质：单调区间和极值课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1 课时3 三次函数的性质：单调区间和极值 2 1.会求三次函数的单调区间和极值.（数学运算） 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（直观想 象、数学运算） 学习目标 3 1.根据三次函数的性质能否画出其图象草图？ [答案] 根据三次函数的单调性、极值可以画出其图象草图. 2.在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在 上一定 存在最值和极值吗？在区间 上呢？ [答案] 函数在上一定有最值，但不一定有极值.如果函数在 上 是单调函数，那么在上无极值；如果在上不是单调函数，那么 在上有极值.当在 上是单调函数时，它既没有最值也没有极值. 自主预习 4 3.如何求连续函数在 上的最值？ [答案] 求出函数在 上的极值和端点值，然后进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一般地，连续函数在 上既有最大值，又有最小值. ( ) √ （2）函数的极大值为 . ( ) √ （3）函数 的极小值点为0. ( ) × （4）极大（小）值一定是函数的最大（小）值. ( ) × 自主预习 6 2.已知函数，且在处取得极值，则 ( ) . D A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] ，又在处取得极值，所以 ，即 ，解得 . 3.函数在区间 上的最大值为____. [解析] 因为 ， 所以函数在区间 上单调递增， 所以当时，函数取得最大值，最大值为 . 自主预习 7 探究1 三次函数的单调区间和极值 某数学兴趣小组对形如 的三次函数的性质进行研究. 合作探究 8 问题1： 求函数 的单调区间、极大值. [答案] 由已知得，令，得或 . 当时，；当或时， . 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 .所以函数的 极大值为 . 问题2： 求函数在区间 上的最小值. [答案] 由问题1可知函数在区间 上的最小值为 . 合作探究 9 新知生成 设，则 . 可能有以下三种情形： 情形1：函数没有零点，在 上不变号. 若，则恒为正，在 上单调递增； 若，则恒为负，在 上单调递减. 情形2：函数有一个零点 . 根据二次函数的性质： 若，则在上恒为正，在 上单调递增； 合作探究 10 若，则在上恒为负，在 上单调递减. 情形3：函数有两个零点和，设 . 根据二次函数的性质： 若，则在和上为正，在上为负，对应地， 在 上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增. 可见在处取得极大值，在 处取得极小值. 若，则在和上为负，在上为正，对应地， 在 上单调递减，在上单调递增，在 上单调递减. 可见在处取得极小值，在 处取得极大值. 合作探究 11 新知运用 例1 已知函数 . （1）当时，求 的极值； （2）讨论 的单调性. 合作探究 12 [解析] （1）当时，，则 . 令，得或 ， 当变化时，， 的变化情况如下表： 0 2 - 0 0 - 极小值 极大值 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为 . 当时，函数取得极小值，极小值为 ； 当时，函数取得极大值，极大值为 . 合作探究 13 （2）， . ①当时，， . 令，得；令，得 . 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 . ②当时，令，得或；令，得 . 函数的单调递增区间为 ,和，单调递减区间为, . 合作探究 14 ③当时，令，得；令，得或 . 函数的单调递增区间为,，单调递减区间为和, . 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ； 当时，函数的单调递增区间为 ,和，单调递减区间为, ； 当时，函数的单调递增区间为,，单调递减区间为和, . 合作探究 15 求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元 二次不等式的问题去解决. 合作探究 16 已知函数， . （1）求函数 的单调区间； （2）求函数 的极值. [解析] （1）由题意可知，的定义域为 . . 令,即，解得 ； 令,即，解得或 . 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 . 合作探究 17 （2）由题意可知，的定义域为 . ， 令,即，解得或 . 当变化时，, 的变化情况如下表： 1 - 0 0 - 极小值 极大值 所以的极小值为 ，极大值为 . 合作探究 18