1.3 课时2 函数的极值与导数课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1 课时2 函数的极值与导数 2 1.了解函数极值的概念，会从几何直观的角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵 活应用.（数学抽象、逻辑推理、直观想象） 2.掌握函数极值的判定及求法.（逻辑推理、数学运算） 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.（数学抽象、逻辑推理） 学习目标 3 已知， 的图 象如图所示. 1.函数在， 上的单 调性与导数的符号有何特点？ [答案] 在上单调递增，其导数值大于零；在 上单调递减，其导数值 小于零. 自主预习 4 2.观察的图象，在区间内，函数值 有何特点？它是极大值吗？ [答案] 在内为 的最大值；是. 3.函数值 在定义域内是最大值吗？ [答案] 不一定. 4.函数在 上有极大值、极小值吗？ [答案] 在上有极小值 ，无极大值. 5.结合教材的实例思考：函数的极大值一定大于极小值吗？在同一区间内极值点唯一吗？ [答案] 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值.在同一区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）是函数 的极值点. ( ) × （2）可导函数一定存在极值. ( ) × （3）若，则是函数 的极值点. ( ) × （4）若是函数的极值点，则 . ( ) √ 自主预习 6 2.已知函数的定义域为，导函数在 上 的图象如图所示，则函数在 上的极大值点的个数 为( ) . B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由导函数的图象可知，在上与 轴的交点个数为4，但是在原点附近 的导数值恒大于零，故不是函数 的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中 有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个. 自主预习 7 3.设函数 ，则( ) . D A.是的极大值点 B.是 的极小值点 C.是的极大值点 D.是 的极小值点 [解析] 对求导得，令，解得 ，易知 是函数 的极小值点. 4.已知函数的极大值为10，则 的值为___. 8 [解析] ，令，解得， ，经判 断知是极大值点，故，解得 . 自主预习 8 探究1 函数的极值 在必修课程中，我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题，但函数在定义域内某一点的附近，也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近的函数值的大小问题？ 合作探究 9 问题1： 观察下列图形，函数在，， ， ，， 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系？ [答案] 以，两点为例，函数在点 处 问题2： 在点， 处的导数值是多少？ [答案] 0. 的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，函数在点 处的 函数值比它在点 附近其他点的函数值都大. 合作探究 10 问题3： 在点，附近， 的导数的符号有什么规律？ [答案] 在点附近的左侧，右侧.类似地，在点 附近的左侧 ，右侧 . 问题4： 导函数的零点是否一定是函数的极值点呢? [答案] 不一定.例如，函数的导函数 有零点， 但 是增函数，没有极值点，如图.由此可见，导函数的 零点可能不是函数的极值点.也就是说，若存在，则 是在 处取到极值的必要条件，但不是充分条件. 合作探究 11 新知生成 1.极大值点与极大值 设函数在区间内有定义，是内的一个点，若点 附近的函数值都 小于或等于即，，我们就说是函数 的一个 极大值，此时称为 的一个极大值点. 2.极小值点与极小值 设函数在区间内有定义，是内的一个点，若点 附近的函数值都 大于或等于即，，我们就说是函数 的一个 极小值，此时称为 的一个极小值点. 合作探究 12 3.极值与导数的关系 函数在极值点的导数为0，导函数的零点可能不是函数的极值点. 4.驻点 若，则叫作函数 的驻点.对可导函数而言，极值点一定是驻点，而驻 点不一定是极值点.如果一个函数在驻点的两侧单调性互异，即函数的导数在驻点的两 侧变号，那么该驻点就是此函数的一个极值点. 合作探究 13 新知运用 例1 求下列函数的驻点，并判断其是不是极值点.若是，求出对应的极值；若不是，请说明理由. （1） ； （2） . [解析] （1）由题意得， ， 令，即 ， 解得或 ， 即函数的驻点为和 . 合作探究 14 当变化时，， 的变化情况如下表所示: 3 0 - 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，且极大值为 ； 是的极小值点，且极小值为 . 合作探究 15 （2）由题意得，函数的定义域为， ， 令，即 ， 解得或 （舍去）， 即函数的驻点为 . 当变化时，，