8.1向量的概念(第1课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.1向量的概念(第1课时） 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 学习目标 老鼠逃跑的方向 猫追老鼠的方向 不一定？ 请问猫能逮住老鼠吗？ 情景导入 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具 平面向量 ８．１　　向量的概念和线性运算 向量的概念 图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向 在研究向量的性质并定义与向量相关的各种运算时，常常把向量用有向线段 （ ｄｉｒｅｃｔｅｄｌｉｎｅｓｅｇｍｅｎｔ ， 即指定了方向的线段）表示出来，线段的长度就是向量的大小，线段的方向表示向量的方向．我们也直接把表示向量的有向线段称作向量，有向线段的起点称为向量的起点，有向线段的终点称为向量的终点．本章只研究在一个平面上的向量，就是要求所涉及的所有向量都能用同一个平面上的有向线段表示出来 在讨论向量时 ， 仅仅有数值 （ 可以是任何实数 ） 而没有方向的量称为 数量 （ ｓｃａｌａｒ ）， 又称为 “ 标量 ” 除了位移 ， 向量还有很多现实的原型 ． 例如 ，“ 力 ” 就是一个典型的例子 ． 如果两个向量同方向且具有相同的模，根据向量的定义，它们就是同一个向量，不过我们常常只说它们是相等的向量．特别地，一个向量平移后得到的向量与原来的向量相等．例如，图８-１-３中，向量MN是向量AB经过平移后得到的， 由于约定了零向量具有任意方向，因此它平行于任意向量． 这样，根据向量相等的定义，零向量都是相等的 所以 尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的． 例1　(多选)下列说法错误的有 A.向量 与向量 的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量都是相等的 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 题型一、向量的概念 √ 解：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也 不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反 向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确. √ √ 题型分类讲解 【练1】下列说法中正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 √ 解：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关， 故C不正确； 向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确. 题型二、向量的几何表示及应用 例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西 偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D点. 例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西 偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D点. ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 【练2】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； 解（1）根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，