1.1 课时3 导数的几何意义 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.1 导数概念及其意义 1 课时3 导数的几何意义 2 1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程.（数学抽象、直观想象、数学 运算） 2.通过导数的几何意义，了解微积分中以直代曲的数学思想.（数学抽象） 学习目标 3 1.当点向点无限逼近时，割线 与曲线的位置关系是什么？ [答案] 当点无限逼近点时，此时直线就是 点处的切线. 2.如果设曲线的方程为，点的坐标为，那么曲线在点 处的切线的 斜率是什么？ [答案] . 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数在处的导数值就是曲线在 处的切线的斜率. ( ) √ （2）若不存在，则曲线在点 处没有切线. ( ) × 2.已知曲线上一点，则点 处的切线斜率为( ) . C A.4 B.16 C.8 D.2 [解析] ， 当时， ， 即 . 自主预习 5 3.函数 的图象如图所示，下列描述错误的是 ( ) . D A.函数在处比 处变化快 B.函数的图象在 处呈上升趋势 C.函数在和 处增减趋势相反 D.函数的图象在 处呈上升趋势 [解析] 根据导数的几何意义知，，， ， ，故A,B,C正确，D错误.故选D. 自主预习 6 探究1 导数的几何意义 设函数，在上取两点， . 问题1： 割线的斜率 是什么？ [答案] 割线的斜率 . 问题2： 当无限趋近于点时，与切线的斜率 有什么关系？ [答案] 趋近于切线的斜率 . 合作探究 7 问题3： 如何求得过点的切线 的斜率？ [答案] 函数在处的导数就是切线的斜率，即 . 问题4： 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？ [答案] 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点，和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋近于确定位置的直线. 问题5： 曲线在点处的切线与曲线过某点 的切线有何不同？ [答案] 曲线在点处的切线，点一定是切点，只要求出 ， 利用点斜式写出切线方程即可；而曲线过某点的切线，给出的点 不 一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点. 合作探究 8 新知生成 1.切线的概念：如图，对于割线，当点趋近于点时，割线 趋近于确定的位置， 这个确定位置的直线称为点 处的切线. 2.导数的几何意义：函数在处的导数就是切线的斜率，即 . 合作探究 9 新知运用 一、求曲线的切线 例1 已知曲线 . （1）求曲线在点 处的切线方程； （2）求曲线过点 的切线方程. 合作探究 10 [解析] （1） 点在曲线 上， . 当时， ， 曲线在点 处切线的斜率为4, 曲线在点处的切线方程为，即 . 合作探究 11 （2）设曲线与过点的切线相切于点， ， 当时，，则切线的斜率 ， 切线方程为 ， 即 . 点 在切线上， ，即 . ， 合作探究 12 ， ， 解得或 . 故所求的切线方程为或 . 合作探究 求曲线在点处的切线方程，即给出了切点 的坐标，求切 线方程的步骤 （1）求出函数在点处的导数 ； （2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为 . 要注意“过点的切线”与“曲线在点处的切线”的区别，若题中所给点 不一 定是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标， 进而求出切线方程. 合作探究 14 二、求切点坐标或参数值 例2 （1）已知抛物线在某点处的切线的倾斜角为 ，则该切点 的坐标为_______. （2）若直线与曲线相切，则 _______. ， 2或 [解析] （1）设切点的坐标为 ， 则 . 当时， . 又 切线的斜率为 ， ，得, ， 切点的坐标为， . 合作探究 15 （2）设直线与曲线相切的切点为，设 , 则 , 当时， , 曲线在点处的切线斜率 ， 又 直线与曲线相切于点 ， ，解得或，或 . 点在直线上，或 . 合作探究 16 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息 得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用， 如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直直线斜率间的关系等. 合作探究 17 1.求函数的图象在点 处的切线方程. [解析] 因为 ，当时， ， 所以所求切线的斜率为6， 因此，所求的切线方程为，即 . 合作探究 18 2.已知曲线在处的切线与曲线在 处的切线互相 平行，求 的值. [解析] 对于曲线 ， 有 , 当时， ， 所以曲线在处的切线斜率 . 对于曲线 ， 有 , 合作探究 19 当时， ,