1.1 课时2 瞬时变化率与导数 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.1 导数概念及其意义 1 课时2 瞬时变化率与导数 2 1.通过实例领悟瞬时速度、瞬时变化率（导数）的概念，会求简单函数的瞬时变化率. （数学抽象、数学运算） 2.了解导数的实际背景，体会导数的内涵与思想.（数学抽象） 学习目标 3 1.瞬时速度的概念和计算方法是哪位科学家给出的？ [答案] 牛顿. 2.瞬时速度与平均速度有什么关系？ [答案] 平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时 速度.当时间间隔趋近于0时，平均速度 就无限趋近于某一时刻的瞬时速度. 自主预习 4 3.根据瞬时速度的定义，想一想瞬时变化率是如何定义的？ [答案] 若函数的平均变化率在 趋近于0时有确定的极限值，则称 这个值为该函数在 处的瞬时变化率. 4.函数的瞬时变化率与函数的导数有什么关系？ [答案] 函数的瞬时变化率就是函数的导数. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）瞬时变化率是刻画某函数在区间 上函数值的变化快慢的物理量. ( ) × （2）函数在处的导数值与 的正、负无关. ( ) √ （3）设，当时，，因此， . ( ) √ 自主预习 6 2.当自变量从变到 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) . A A.在区间上的平均变化率 B.在 处的变化率 C.在处的变化量 D.在区间 上的导数 3.已知，则当时， ___. 1 [解析] 当时， . 自主预习 7 探究1 瞬时速度 跳水运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位： ）存在函 数关系 . 问题1： 求运动员在, 这段时间内的平均速度. [答案] , ， 即运动员在,这段时间内的平均速度是 . 合作探究 8 问题2： 运动员在, 这段时间内是静止的吗？ [答案] 运动员在这段时间里显然不是静止的. 问题3： 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ [答案] 由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时. 问题4： 在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间内的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度呢？ [答案] 时间长度趋近于0时的平均速度即瞬时速度. 合作探究 9 新知生成 若物体的运动方程为，则物体在任意时刻的瞬时速度 ，就是平均速 度在趋近于0时的极限，这个极限记为 . 应注意的是，这里用“趋近于0”来表述，是因为我们研究的是平均速度趋近于某一 时刻的变化过程，在这个过程中，时间间隔 虽然越来越短，但始终不能为0. 合作探究 10 新知运用 例1 若一物体的运动方程为求此物体在和 时 的瞬时速度. [解析] 当时， ， 所以 ， 当 趋近于0时，上式趋近于6； 当时， ， 所以 ， 当 趋近于0时，上式趋近于0. 所以物体在和 时的瞬时速度分别是6和0. 合作探究 11 求瞬时速度的三个步骤:（1）求时间改变量和位移改变量 ; （2）求平均速度;（3）求瞬时速度，当无限趋近于0时， 无限趋近于常 数 ，即得瞬时速度. 合作探究 12 某汽车启动阶段的位移函数为（的单位:米， 的单位：秒），则 当 秒时，汽车的瞬时速度是_______. 4米/秒 [解析] 因为，所以 ， 当 趋近于0时，上式趋近于4，所以汽车的瞬时速度是4米/秒. 合作探究 13 探究2 函数的瞬时变化率——导数 问题1： 函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ [答案] （1）平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 处变化的快慢. （2）平均变化率与瞬时变化率的联系：当趋近于0时，平均变化率 趋近 于一个常数，这个常数为函数在 处的瞬时变化率，它是一个固定值. 合作探究 14 问题2： 与 的区别是什么？ [答案] 是函数的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关；表示的是函数在处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及的位置有关，而与 无关. 合作探究 15 新知生成 1.瞬时变化率 一般地，若函数的平均变化率在 趋近于0时，有确定的极限值，则 称这个值为该函数在 处的瞬时变化率.函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导 数或微商. 合作探究 16 2.在某点处的导数 定义：设函数在包含的某个区间上有定义，在 趋近于0时，如果比值 趋近于一个确定的极限值，那么称此极限值为函数在 处的 导数或微商，记作.这时我们就说在点处的导数存在，或