第1章 空间向量与立体几何 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

章末知识梳理 知识体系构建 空间向量 — — 空间向量的概念及特殊向量 — — 空间向量的夹角、模 — 平行(共线)向量 — 共面向量 — 单位向量与零向量 — 基底与基向量 — 直线的方向向量 — 平面的法向量 — 空间向量的运算 — — 加减运算 — 数乘运算 — 数量积运算 — 判定空间向量的平行与共面 — — 共线向量定理 — 共面向量定理 — 空间向量基本定理 — 判定线面位置关系 — — 直线与直线平行、垂直 — 直线与平面平行、垂直 — 平面与平面平行、垂直 — 求空间距离与角 — — 求两点间的距离 — 求点到平面的距离 — 求异面直线所成的角 — 求直线与平面所成的角 — 求平面与平面的夹角 核心知识归纳 　 　 一、空间向量的加减运算 １. 空间向量可以看作是平面向量的推广ꎬ注 意空间向量的三维多向性ꎬ有许多概念的定义是 相同的ꎬ如模、零向量、单位向量、相等向量、相反 向量. ２. 空间向量的加减法的法则仍是三角形法则 和平行四边形法则ꎬ即转化为平面向量的加减法ꎬ 这是因为空间的任意两个向量都是共面的. 　 　 二、空间向量的数乘运算及向量共面的充要 条件 １. 空间向量的数乘运算ꎬ平行向量的概念、向 量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 　 　 　 ２. 利用向量共面的充要条件可以判断第三个 向量是否与已知的两个不共线向量共面. 特别地ꎬ 空间一点 Ｐ 位于平面 ＡＢＣ 内的充要条件是存在 有序实数对(ｘꎬｙ)ꎬ使ＡＰ→ ＝ ｘ ＡＢ→ ＋ ｙ ＡＣ→. 　 　 三、空间向量的数量积 １. 空间向量的数量积的定义表达式 ａ􀅰ｂ ＝ ｜ ａ ｜ 􀅰 ｜ ｂ ｜ 􀅰 ｃｏｓ ‹ ａꎬ ｂ› 及其变式 ｃｏｓ ‹ ａꎬ ｂ› ＝ ａ􀅰ｂ ｜ ａ ｜􀅰 ｜ ｂ ｜是两个重要公式. ２. 空间向量的数量积的其他变式是解决立体 几何问题的重要公式ꎬ如 ａ２ ＝ ｜ ａ ｜ ２ꎬａ 在 ｂ 上的投 影 ａ􀅰ｂ ｜ ｂ ｜ 等. 　 　 四、线面位置关系 １. 线线平行 证明两条直线平行ꎬ只需证明两条直线的方 向向量是共线向量. ２. 线线垂直 证明两条直线垂直ꎬ只需证明两直线的方向 向量垂直ꎬ则 ａ⊥ｂ⇔ａ􀅰ｂ ＝ ０. ３. 线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有 (１)证明直线的方向向量与平面的法向量 垂直ꎻ (２)证明可在平面内找到一个向量与直线的 方向向量是共线向量ꎻ (３)利用共面向量定理ꎬ即证明可在平面内 找到两不共线向量将直线的方向向量线性表示. ４. 线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有 (１)证明直线的方向向量与平面的法向量 平行ꎻ (２)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂 直问题. ５. 面面平行 (１)证明两个平面的法向量平行(即是共线向 量)ꎻ (２)转化为线面平行、线线平行问题. ６. 面面垂直 (１)证明两个平面的法向量互相垂直ꎻ 　 　 (２)转化为线面垂直、线线垂直问题. 　 　 五、空间角 １. 求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为 ｎ１ꎬｎ２ꎬ那么 这两条异面直线所成的角为 θ ＝ ‹ｎ１ꎬｎ２ ›或 θ ＝ π － ‹ｎ１ꎬｎ２›ꎬ故 ｃｏｓ θ ＝ ｜ ｃｏｓ‹ｎ１ꎬｎ２› ｜ . ２. 求二面角的大小 如图ꎬ设平面 αꎬβ 的法向量分别为 ｎ１ꎬｎ２. 因为 两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面 αꎬ β 所成的锐二面角 θꎬ所以 ｃｏｓ θ ＝ ｜ｃｏｓ‹ｎ１ꎬｎ２› ｜ . ３. 求斜线与平面所成的角 如图ꎬ设平面 α 的法向量为 ｎ１ꎬ斜线 ＯＡ 的方 向向量为 ｎ２ꎬ斜线 ＯＡ 与平面所成的角为 θꎬ则 ｓｉｎ θ ＝ ｜ ｃｏｓ‹ｎ１ꎬｎ２› ｜ . 六、空间距离 １. 用直线的方向向量与其投影构造直角三角 形求点线距离. ２. 用法向量求点到平面的距离 已知 ＡＢ 是平面 α 的一条斜线ꎬｎ 为平面 α 的 法 向 量ꎬ Ｂ∈αꎬ 则 Ａ 到 平 面 α 的 距 离 为 ｄ ＝ ｜ ＡＢ →􀅰ｎ ｜ ｜ ｎ ｜ . ３. 用法向量求直线到平面的距离 首先必须确定直线与平面平行ꎬ然后将直线 到平面的距离问题转化为直线上一点到平面的距 离问题. ４. 用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行ꎬ这时可以在 一个平面上任取一点ꎬ将两平面间的距离问题转化为 点到平面的距离问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �