拓展专题01 破解立体几何问题的秘密武器——基向量法（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展专题01破解立体几何问题的秘密武器 一基向量法 考向梳理·题型总览 题型1 解决点共线问题 题型6 求线面角（重点） 题型2解决点共面问题（常考点） 题型7求二面角或两平面的夹角（重点） 题型3求线段长（向量模长） (常考点) 题型8 求空间距离（重点） 题型4空间平行、垂直的判定（重点) 题型9解决新定义问题（难点） 题型5求异面直线所成的角（常考点） 02 题型突破·能力提升 题型一解决点共线问题（共2小题） 1如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，CC=2EC,AC=3FC. D B A E G B (1)求证：A、F、E三点共线： (2)若点G是平行四边形B,BCC1的中心，求证：D、F、G三点共线. 2.(26-27高二上辽宁营口开学考试)如图，平行六面体ABCD-ABCD中，∠DAB=90°， ∠AAD=∠AAB=60°，M、N分别为棱AB、DC的中点，P为线段AC上一点（包含端点），且满足 AP=AAC 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D N A B D (1)若M、N、P三点共线，求九： (2)若AC=1,求A4长度的取值范围. 题型二解决点共面问题（共4小题） 3.(25-26高二下江苏镇江期末)如图，在四面体OABC中，OA=OB=2,0C=V3,∠A0B=60°， ∠AOC=∠BOC=45°，点E,F分别为OA,BC的中点. B (I)求线段EF的长： ax0G-0丽，aM-3a,求：gFG:4因点共面 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二下江苏期中)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中， AB=AD=4,AA=6,∠DAB=∠BAA=∠DAA=60°，M,N分别在棱AA,CC上，且 4M=4，ow=CG. 3 D B M-- N C (1)求证：D,M,B,N四点共面： (2)求MN的长度. 5.(25-26高二上湖北武汉期中)已知向量à，b，c是空间中不共面的三个向量，若AB=ā-2b+c, AC=pa+b+qc,AD=2a+b-2c 1)若B,C,D三点共线，求P四的值： (2)若A,B,C,D四点共面，求P9的最大值 6.(26-27高二上福建厦门阶段检测)如图，在四面体0ABC中，0A=0B=2,0C=V5,∠AOB=60°， ∠AOC=∠BOC=45°，点E、F分别为OA、BC的中点，设OA=a,OB=b,OC=c. 3/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1将BF用基底{ā，b,表示，并求其模长： 2考0G-0丽，GH-号C,求证：EFGH四点共面. 题型三求线段长（向量模长）（共3小题） 7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,A4=V2,∠BAA=∠DAA=45,∠BAD=60, 则4C=() D A B B A.1 B.5 C.9 D.3 8.(25-26高一下浙江宁波期未)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，M为CD中点， AB=AD=A4=1,∠BAD=∠AAB=∠AAD=60°，设AB=a,AD=b,AA=C,以{ā，6，为空间 的一个基底. 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M C A B a (1)用基底{ā，b,表示向量M,并求出线段AM的长度： AP (2)直线AM与平面ABD交于点P求AM的值 9.(2026高三·全国专题练习)如图，四面体P-ABC中，PA=2a,AB=AC=BC=2b,D是AB的中 点.若PB=2a'1是点p在平面BC内的投影，存在实数r满足A-)PC=x(PA+P四). 2 (1)求x的值： 2若∠PCD<了求号的取值范围， 题型四空间平行、垂直的判定（共4小题） 10.(2026高三·全国专题练习)如图所示，己知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，连接 PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心. 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H C B (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面： (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断， 11.(25-26高二下江苏宿迁阶段检测)如图，己知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=k0A, OF=kOB,Oi=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k≠0，m≠0， G E D以 求证： ()A,B,C,D四点共面，E,F,G,H四点共面： (2)AC11EG: (3)0G=k0C. 6/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(26-27高二上·宁夏银川阶段检测)如图，平行六面体ABCD-ABCD中，AB=BC=BB=2, ∠CCB=∠CCD=LBCD=60°.设CD=a,CB=b,CC=c. B A C B D (1)求C4与BB所成角的余弦值； (2)证明：CA⊥平面CBD 13.(26-27高二上四川成都阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中，AB=AD=3, AA'=2,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60° D' A B D A B (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD',并求BD'的长； (2)求证：BD⊥AC, 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五求异面直线所成的角（共4小题） 14.(多选)如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-AB,CD中，底面ABCD是正方形，且 ∠AAB=∠AAD=60,下列选项正确的是() D A B B A.BD长为2V3 6 B.异面直线AC与BD,所成角的余弦值为 3 c.AC⊥BD D.AA⊥BD 15.(2627高二上四川绵阳阶段检测)如图，在三棱锥P-ABC中，若AB=AC=2, ∠BAC=∠PAC=∠BMP=60,点D为棱BC上一点，且PD-2P历+P).M-2D且pM=1” D B (1)求AP的棱长： (2)若△APM为等腰三角形，求异面直线PM与AC的夹角. 8/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(26-27高二上：山西太原阶段检测)如图，已知在棱长为1的正四面体0ABC中，0A=a,0B=万， OC=c,点E,F满足OE=2EA,BF=FC O E A F B )用基底a,6,表示向量际，并求出E团， (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值. 17.(26-27高二上·云南昭通阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中， AB=AD=3,AM=4,∠BAD=∠BA4=∠DAA,且AC=214 D C B A 1)用向量AB,AD,AA表示向量AC,AC: (2)求cos∠BAD: 3)求异面直线AC与BC所成的角： 9/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六求线面角（共3小题） 18.己知三枝柱ABC-AB,C的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC内的射影为△ABC的中心 (1)求异面直线14与BC的夹角； 2)求侧棱AB与底面ABC所成角的正弦值. 19.(26-27高二上山东临沂阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=4,AD=4, AA=6.∠BAD=∠BAA=∠DAA=60° D D (1)求四边形ACCA的面积： (2)求AD与平面AACC所成角的余弦值： 20.(26-27高二上·河北阶段检测)如图，平行六面体ABCD-ABCD,的底面ABCD是菱形，AB=1, ∠CCB=∠CCD=O.∠BCD=p. 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A D A 当0-=子，p=及 2,A4=2时，求BD的长： (2)当0=p,AC⊥平面BCD时， ①求A4的长： ②当9后引时。求直线CB与平面BCD所成的角的正弦值的束信花。 题型七求二面角或两平面的夹角（共2小题） 21.(25-26高二下湖南长沙期中)如图，平行六面体ABCD-AB,CD中，BB,=CB=BD=1, ∠DDA=60°，∠B,BA=45°，BD⊥CB. 6) C B D (1)求对角线C4的长度： (2)求二面角G-BD-C的余弦值. 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图，平行六面体ABCD-AB,CD中，CB⊥BD,∠CCD=45,∠CCB=60,CC=CB=BD=L, B1 (1)求对角线CA的长度： (2)求二面角C-BD-C的余弦值 题型八求空间距离（共3小题） 23.(23-24高三下湖南长沙阶段练习)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=A4=1, ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° D D 分 (1)若空间有一点P满足：P=AB+2AD+2AA,求点P到直线BD的距离： (2)求平面BDD,B与平面BCCB所成夹角的余弦值. 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(26-27高二上河南安阳阶段检测)在四面体0MBC中，0A=6,0B=9,0C=7, OA0B=2,OA.0C=4,0B.0C=1 (1求01+0B+0C的值； (2)设G为△ABC的重心，证明：OG⊥平面ABC,并求O到平面ABC的距离： (3)设D是直线AC上一点，且BD⊥AC.证明：D在线段AC上，并求四面体OABC的体积. 25.(24-25高三下·江西阶段练习)如图，四棱柱ABCD-AB,CD中，A4=AB=2. D A B (1)若四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O,AO=AO,∠AAD=∠AAB. ①证明：AC⊥平面BDD,B: ②若四边形BDD4的面积为s,证明：四枝柱ABCD-48CD的体积/=S·4C, 2诺∠BAD=60,Qos∠44B=4cos∠4D号AD=3,求点A到平面ABD的距离 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型九新定义问题（共3小题） 26.(25-26高二上·贵州开学考试)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都 只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图 立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球， N为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则PM·PN的取值范围是 27.(25-26高二下·上海宝山期末)在平面上有如下命题：“若0为直线AB外一点，则点P在直线 AB上的充要条件是：存在实数2、4，满足OP=OA+uOB,且几+4=1.” (1)请将该命题类比到空间中，并证明. (2)在四面体OABC中，已知OA=OB=OC=2,OAOB=OB.OC=2,OAOC=1.点P在平面ABC 内，且满足0P=20A+oB+}0C 4 ①求OP.OA的值； ②求OP的值. 28.(24-25高三上上海崇明期中)正四棱柱ABCD-A,B,CD中，底面ABCD是边长为4的正方形，AC 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与BD交于点N,BC与B,C交于点M,且AM⊥BN. D A D B (1)用向量方法求线段A4的长： (2)对于n个向量4、a2、…、an,如果存在不全为零的n个实数、2、…、九，使得 a,+a2+…+元nan=0,则称这n个向量a1、a2、…、an线性相关，否则称其线性无关试判断三个向量 AM、BN、CD是否线性相关，并说明理由· 15/15 拓展专题01破解立体几何问题的秘密武器——基向量法 题型1 解决点共线问题 题型6 求线面角（重点） 题型2 解决点共面问题（常考点） 题型7 求二面角或两平面的夹角（重点） 题型3 求线段长（向量模长）（常考点） 题型8 求空间距离（重点） 题型4 空间平行、垂直的判定（重点） 题型9 解决新定义问题（难点） 题型5 求异面直线所成的角（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解决点共线问题 （共2小题） 1.如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【分析】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； （2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； 【详解】（1）由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， 故 ,因为有公共点D， 故、、三点共线． 2．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 题型二 解决点共面问题（共4小题） 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 4．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 【答案】(1) 在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，， 而， 则， 因此， 所以的长度为6. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 6．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在四面体中，，，，，点、分别为、的中点，设，，． (1)将用基底表示，并求其模长； (2)若，，求证：、、、四点共面． 【答案】(1)，. (2)证明：由题意知，， 因为，所以， 所以，， ，     不妨设， 即， 因为、、不共面，由空间向量基本定理可得，解得， 即，     根据共面向量定理，、、共面且有公共点，所以、、、四点共面． 【分析】（1） 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可； （2）利用基底表示出向量，，，再由共面向量定理证明即可. 【详解】（1），     则 ， 所以； （2）略 题型三 求线段长（向量模长） （共3小题） 7．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B． C．9 D．3 【答案】D 【详解】在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 8．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【详解】（1）由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. （2）设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 9．（2026高三·全国·专题练习）如图，四面体中，，，是的中点．若，是点在平面内的投影，存在实数满足． (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理求解. （2）用表示出，在内利用边角关系的限制求得范围. 【详解】（1）由，得， 而点平面，由空间向量基本定理可知，，解得. （2）连接，作. 如下图所示： 因为，为的中点，则，又，所以， 而，平面.则平面.又平面，则. 又，平面.所以平面， 即点与点在平面内的投影重合. 在中，， 在中，， 由，可知点为中点， 则，， 所以，即. 又，由得， 即，整理得，即. 综上所述，. 题型四 空间平行、垂直的判定 （共4小题） 10．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【分析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点，推导出四边形为平行四边形，推导出，可得，即可证得结论成立； （2）推导出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 11．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3) . 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，平行六面体中，，．设，，． (1)求与所成角的余弦值； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)证明：，. . ，即. =， ，即. ，平面，平面， 所以平面. 【分析】(1)用，，表示向量、；利用向量数量积公式算出向量点积、模长；异面直线夹角用公式计算； (2)把，用基底表示；分别计算和、的数量积，结果都为0，得到两组线线垂直；，是平面内相交直线，由线面垂直判定定理得证. 【详解】（1）由题意，，. ，，. ，. 设异面直线与所成角为，. ，. ，. . 与所成角的余弦值为. （2）略. 13．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以，，为基底向量，表示向量，并求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： ， 所以，即， 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可结合图形求解， （2） 根据向量数量积的运算律，利用垂直关系即可求解. 【详解】（1）． 因为，，，， 所以，， 所以,所以． （2）略 题型五 求异面直线所成的角 （共4小题） 14．（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 15．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，若，，点D为棱上一点，且，，且． (1)求的棱长； (2)若为等腰三角形，求异面直线与的夹角． 【答案】(1)或 (2)异面直线与的夹角为 【分析】（1）首先判断D为棱的中点，以为基底表示，由数量积的性质可求； （2）首先判断的形状，进而可求出的长，根据（1）中的结果，结合向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为点D为棱上一点，且， 所以D为棱的中点，所以. 由，知. 所以， 因为，， 所以，，， 即， 整理得，解得或，即或. （2）由（1）知或， 因为，，所以是等边三角形， 所以. 当时，，满足为等腰三角形的条件； 当时，三边不相等，不满足为等腰三角形的条件. 所以 ， 所以，所以异面直线与的夹角为. 16．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，已知在棱长为1的正四面体中，，，，点，满足，． (1)用基底表示向量，并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. （2）根据向量求夹角公式，结合求模公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ． 在正四面体中，任意两条棱的夹角均为，且棱长为1， 则，同理， 所以 ， 即． （2）由（1）得，． 所以 ， 又， 因为异面直线EF与OC所成角， 所以， 所以异面直线EF与OC所成角的余弦值为. 17．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求异面直线与所成的角. 【答案】(1)，;(2);(3) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间的基底表示向量. （2）利用空间向量数量积的运算律列式求出. （3）利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）在平行六面体中， ， . （2）由（1）知，， 则， 而，且， 于是， 所以. （3）由（1）知， 由（2）得， 又， 则 ， 因此， 所以异面直线与所成的角的大小为. 题型六 求线面角 （共3小题） 18.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心. (1)求异面直线与BC的夹角; (2)求侧棱与底面所成角的正弦值. 【分析】 由于的长度和相互夹角都已知，所以可将这三个向量作为一组基向量，再考虑用转化思想求解本例，对于(1),可转化为求向量与的夹角;对于(2),作出在底面内的射影AO,则所求角即为向量与的夹角的余角. 【详解】设O 是在底面ABC内的射影，选作为基向量.由已知可得的两两间的夹角均为，设棱长均为，则 （1） . 所以,所以异面直线与BC的夹角为. (2)平面的法向量为, . 所以侧棱与底面所成角的正弦值=|cos|=. 19．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用基底法求出长度，再通过向量数量积计算与夹角的余弦值，进而求出正弦值，代入平行四边形面积公式求解. （2）先证明平面，确定与平面所成角为，再通过向量模长公式分别计算、，代入三角函数公式求解即可. 【详解】（1）设， 因为且，， 所以，，又， ∴， ，即， 所以， 所以； （2）连接，交于点H，连接， ∵菱形，∴， 又，所以. 又，，平面，所以平面. ∴为与平面所成的角， 又， ， ∴， 又，， ∴，所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 20．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，平行六面体的底面是菱形，，，． (1)当，，时，求的长； (2)当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2)①1 ；② 【分析】（1）根据空间向量的数量积、数量积运算律及向量的模求解即可. （2）①根据垂直关系的向量表示、空间向量的数量积、数量积运算律求解即可. ②根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而． 所以 ，即． （2）①由（1）知，令， 因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得， 而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ， 而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 题型七 求二面角或两平面的夹角 （共2小题） 21.（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图，平行六面体中，，，，． (1)求对角线的长度； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将平方，利用已知数量积求，进而得到. （2）先证为等边三角形，取中点得垂直关系，再通过向量平方结合已知求二面角余弦值. 【详解】（1）由题意知，在中，，， 以向量，，为基底，①， ，同理可得，， ①式平方，得， 所以． （2）在中，，， 又，，所以为等边三角形， 所以，故为等边三角形， 取中点，连接，则， 又，②， 设二面角为，则，， ，②式两边同时平方，得 ， 所以，． 所以二面角的余弦值为． 22．如图，平行六面体中，，，， (1)求对角线的长度； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， 在中，，，以向量，，为基底，①，， 同理可得， ①式平方，得， ，同理可得， 所以. （2）在中，，， 又，所以为等边三角形， 所以，故为等边三角形， 取中点，连接，则，又，②， 设二面角为，则， ②式两边同时平方， 得， 所以，. 所以二面角的余弦值为. 题型八 求空间距离 （共3小题） 23．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体中，，． (1)若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）法一：因为，∴， 所以， 在菱形ABCD中，， 则为等边三角形，所以， 所以 ， 则点P到直线BD的距离． （2）如图，取的中点E，的中点F，连接CE，EF，CF， 由等角定理可知，又， 所以为等边三角形，所以， 另设，，，则为空间的一个基底， ，故，所以， 又，，所以，所以为二面角的平面角， 又在中，，，，由余弦定理得， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 24．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）在四面体中，，，，，， (1)求的值； (2)设为的重心，证明：平面，并求到平面的距离； (3)设是直线上一点，且．证明：在线段上，并求四面体的体积． 【答案】(1) (2)记 ，由（1）知 ，故 . 因为 为 的重心，所以 . ，同理 ，. 于是 ，同理 . 所以 ，，而 ， 是平面 内的两个不共线向量，且 ，所以 平面 . 又 在平面 内，所以 到平面 的距离就是线段 的长度，，即所求距离为 . (3) 在直线 上，可设 ，. 由 ，得 ，即 . 代入 并展开，得 . 其中 ，，. 所以 ，解得 ，所以 ， 为线段 的五等分点，在线段 上. 在 中，，，，即 . ，所以 . . 由（2）知 到平面 的距离 ，所以四面体 的体积 . 【分析】（1）把 展开为三个模的平方与三个数量积的两倍之和，代入已知数值计算. （2）重心给出 ；只需证该向量与平面 内两个不共线方向（如 ，）的数量积都为 ，距离即 ，四面体与垂足 、垂线段 的位置关系如图所示. （3）由 在直线 上参数化 ，由 解出参数并用其范围判断 的位置；体积用 ，底面三角形用余弦定理求角后算面积，高即（2）中的距离. 【详解】（1） . 所以 . （2）略. （3）略. 25.（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，四棱柱中，.    (1)若四边形为菱形，. ①证明：平面； ②若四边形的面积为，证明：四棱柱的体积； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①先由菱形性质得，再通过全等证，利用等腰性质得， 结合证平面，进而得.然后在中根据边的关系得，由平行关系得，最后根据线面垂直判定得平面.   ②先根据平行且相等证四边形是平行四边形，得与关系.由平面，得点到面距离. 用四棱锥体积公式求体积，再根据等底等高及平行四边形性质得三棱锥体积关系，最后算出四棱柱体积.   （2）根据不共面，可以作为一组基底， 根据平面法向量的性质，法向量与平面内的向量垂直，据此列出方程组求解法向量. 然后，利用点到平面的距离公式（其中为点，为平面的法向量，为点到平面上一点的向量）计算点到平面的距离. 【详解】（1）①因为四边形为菱形，所以， 因为， 所以，所以.    又是的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，因为，从而，所以. 又，所以， 又平面，所以平面. ②连接，因为，所以四边形为平行四边形，从而与互相平分， 又平面，所以点到平面的距离为， 从而四棱锥的体积， 因为三棱锥与三棱锥等底等高，所以； 又四边形为平行四边形，所以，从而， 所以，所以四棱柱的体积 （2）解：因， 所以， 因为不共面，以作为一组基底， 设平面的一个法向量为，则    即 化简，得令，解得，所以， 所以， ， 设点到平面的距离为，则. 题型九 新定义问题 （共3小题） 26．（25-26高二上·贵州·开学考试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用等体积的方法得到正八面体的内切球半径，然后将转化为，最后求范围即可. 【详解】 由题意得为正方形的中心，取中点H，连接，， 因为为正八面体，所以平面，， ，，， 设正八面体的内切球半径为， 则, 所以，解得， ， 由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，为，当点在切点，最小，为， 所以，即. 故答案为：. 27．（25-26高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 28.（24-25高二上·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【答案】(1) (2)、、线性无关 【分析】（1）用表述，结合向量垂直的数量积形式可求线段的长； （2）设，利用基底法可求，故可判断它们线性无关. 【详解】（1）由题设可得， ， 故， 整理得到，故. （2）令， 则， 整理得到， 故，解得， 故、、线性无关. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $