2024年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形存在性问题

2024年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．    (1)求的面积； (2)如图2，点P是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B运动至点A，连接、，并以、为边作平行四边形． ①当平行四边形的面积为9时，求点P的坐标； ②直接写出在整个运动过程中，点Q与线段的最大距离是 ． 3．如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)已知P为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，以为对角线画平行四边形，将抛物线的顶点沿直线平移得到的抛物线恰好经过点M，求平移后的抛物线的函数表达式． 4．如图①，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点在第四象限，边与轴交于点，点分别是线段的中点，过点的抛物线（为常数）的顶点为. (1)点的坐标为______，用含的代数式表示为______. (2)如图②，点为中点，当抛物线经过点时. ①求该抛物线所对应的函数表达式； ②若点在该抛物线上，点在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点的坐标. (3)当点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围. 5．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点，P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t． (1)求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标； (2)连接 _____； (3)①若点P位于第四象限，过点P作轴于点F交于点E，用含t的式子表示 （不要求写出自变量取值范围）； ②过点P作，求的最大值； (4)M是抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出t的值，若不存在请说明理由． 6．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 7．如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E．    (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值； (3)将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于A，C两点（A点在C点左侧），直线与抛物线交于A，B两点，其中点的横坐标为2． (1)求A，C两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为，经过A点的直线交抛物线于点．　　　    (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点M为直线上方抛物线上一点，求当四边形的面积最大时M点的坐标，及最大的面积． (3)点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，是否存在点P，使得以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来；如果不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； (3)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交