微专题3凹凸反转-突破函数与导数系列2024届高三数学二轮复习

突破函数与导数系列——微专题3　凹凸反转 1.凹函数、凸函数的几何特征 　 2.凹凸反转 很多时候，我们需要证明f(x)>0，但不代表就要证明f(x)min>0，因为大多数情况下，f′(x)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明f(x)>0，可把f(x)拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要证g(x)>h(x)，只要证明了g(x)min>h(x)max即可，如图3，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立.很明显，g(x)是凹函数，h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充. 凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值. 3.六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识) (1)x与ex的组合函数的图象与性质 函数 f(x)＝xex f(x)＝ f(x)＝ 图象 定义域 R (－∞，0)∪(0，＋∞) R 值域 (－∞，0)∪[e，＋∞) 单调性 在(－∞，－1)上单调递减， 在(－1，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)，(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增 在(－∞，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减 最值 f(x)min＝f(－1)＝－ 当x>0时，f(x)min＝f(1)＝e f(x)max＝f(1)＝ (2)x与ln x的组合函数的图象与性质 函数 f(x)＝xln x f(x)＝ f(x)＝ 图象 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞) (0，1)∪(1，＋∞) 值域 (－∞，0)∪[e，＋∞) 单调性 在上单调递减， 在上单调递增 在(0，e)上单调递增， 在(e，＋∞)上单调递减 在(0，1)，(1，e)上单调递减， 在(e，＋∞)上单调递增 最值 f(x)min＝f＝－ f(x)max＝f(e)＝ 当x>1时，f(x)min＝f(e)＝e 考点1　化为型 例1 已知函数f(x)＝1＋(a＋1)x＋ln x，证明：对任意x>0，＋1＋(1＋a)x>f(x). 证明　把f(x)代入化简，得>ln x， 即证>(x>0). 令g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝. 当x∈(0，2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增. ∴g(x)最小＝g(x)极小＝g(2)＝， ∴g(x)≥，当且仅当x＝2时取等号. 令h(x)＝(x>0)， 则h′(x)＝， 当x∈(0，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴h(x)最大＝h(x)极大＝h(e)＝， 即h(x)≤，当且仅当x＝e时取等号. 由于>，故>成立，即原不等式得证. 训练1 (2023·南昌模拟改编)证明：对一切x∈(0，＋∞)，ln x>－恒成立. 证明　问题等价于证明xln x>－(x>0). 设f(x)＝xln x(x>0)，f′(x)＝ln x＋1， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f＝－. 设m(x)＝－(x>0)，则m′(x)＝， 当x∈(0，1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 所以m(x)max＝m(1)＝－， 又等号不同时取到，从而对一切 x∈(0，＋∞)，f(x)>m(x)恒成立， 即xln x>－恒成立. 即对一切x∈(0，＋∞)，ln x>－恒成立. 考点2　化为(xex，)型 例2 已知函数f(x)＝exln x＋，证明：f(x)>1. 证明　要证明f(x)＝exln x＋>1，两边同乘以，得xln x＋>， 即证明xln x>－. 令h(x)＝xln x，g(x)＝－. 由h′(x)＝ln x＋1知，h(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以h(x)≥h＝－； 而g′(x)＝知，g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)＝－. 所以有h(x)≥h＝－＝g(1)≥g(x)， 又等