题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（八）二次函数中矩形存在性问题-2024年中考数学重难题型研究（山西卷）

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（八） 二次函数中矩形存在性问题 1、 题型解读 所谓矩形存在性问题,即在坐标系中确定动点位置,使其与其他点等构成矩形,本文将对题型构造及解决方法作简单介绍.首先关于矩形本身,我们已经知道:矩形的判定:(1)有一个角是直角的平行四边形;(2)对角线相等的平行四边形;(3)有三个角为直角的四边形.判定(3)对应在坐标系中就是使用勾股定理,这样的计算过程比较复杂,因此判定(3)不做为选择的方法.本文就重点从直角三角形+平移来探究平行四边形存在性问题。 思路一.先直角，再矩形(两定两动） 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 要善于利用直角三角形的性质： ①两个锐角互余；②三边平方的等量关系（勾股定理）；③斜边上的中线等于斜边的一半. 转化为直角三角形问题，以定线段为边和对角线来确定分类标准，利用一线三直角相似来确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标。 ①找点：两线一圆②求点:一线三直角相似 ③平移 例1-1．抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 例1-2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值． （3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由； 针对练习1 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，且. （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由. 2．如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点.点P是抛物线上一动点.    （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为时，求四边形的面积； （3）当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点. 思路2：先平行，再矩形 分析定点、定角及不变特征，结合图形形成因素（判定等），考虑分类，通常需要转化为一定两动夹角固定直角三角形存在性问题，按照顶角分类。先平行四边形再加一组邻边相等列方程组 例2-1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）． 例2-2．抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 针对练习2 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，直线与抛物线的另一个交点为，连接． (1)求抛物线的函数表