专题20 胡不归问题——2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题20 胡不归问题 胡不归模型 模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不…” 早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C．小伙子先从A到C，然后再从C折往B，然后到达驿道目的地B（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的． 这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2 （v1＞v2）． 可以在驿道上选一点C，小伙子先从A到C，然后再从C折往目的地B，求他行走的时间． 过定点A在直线AC的下方构造∠CAF，使其满足 ，过点C作CE⊥AF于点E，则，∴CE＝kAC，∴ 归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题 条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动） 两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点 问题：确定动点P，使mPA＋PB最短（0＜m＜1） 更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n） 思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上） 我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF， mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB） 一般的：更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型． ，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可． 模型一：几何问题中的最值 例1： 1．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    变式1－1： 2．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ． 变式1－2： 3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 题型二：一次函数背景的最值 例2 4．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 变式2－1： 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度． （1）求直线l2的解析式； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值． 变式2－2： 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC的面积； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值． 变式2－3： 7．如图，已知直线l1：y1＝kx＋b（k≠0）经过点A（﹣1，0），与另一条直线l2：y2＝nx﹣6n（n≠0）交于点B（2，3），直线l2与x轴交于点C． （1）求直线l1的解析式，并写出y1＞y2＞0时，x的取值范围． （2）若点D在直线AB上，且D的横坐标为﹣，过D作直线DQ，直线DQ交y轴于Q点，且△DQB的面积为12，求Q点的坐标． （3）点P为x轴上一个动点，连接BP，求CP＋BP的最小值． 变式2－4： 8．如图，