专题19 阿氏圆-2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题19 阿氏圆 阿氏圆 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A、B两点，点P满足PA：PB＝k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则． 证明：，，即 （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD＝ED且AD平分∠BDE，则，即． 接下来开始证明步骤： 如图，PA：PB＝k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 法二：建系 不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（－m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA＝kPB，即： 【模型通解】 一算破心线（其长度＝半径的平方÷权心线） 二定破题点（在圆心至权心线的连线或延长线上截取破心线的长度，得破题点）． 三连破非线（破题点到非加权点的连线） 四求破非线．（破非线与圆的交点即为动点位置） 说明：确定PA＋1/2PB的最短距离．则定点B叫加权点（简称权）；定点A叫非加权点（简称非）；心当然指圆心；破题点为构造母子相似的关键点． 考法1：向内构造型 【例1】 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为 ． 【变式】 2．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 考点2：向外构造型 （1）求PA＋KPB型 【例2】 3．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值． 【变式2－1】 4．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD＋PC的最小值为 ；PD＋4PC的最小值为 ． 【变式2－2】 5．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC＋PD的最小值． （2）求PA－KPB型 【例3】 6．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【变式】 7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ． 考法3：与坐标系相结合型 （1）坐标系中与几何结合 【例4】 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ．    【变式】 9．如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为 ． （2）坐标系中与函数结合 【例5】 10．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-x-6交y轴与点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G. （1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式； （2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM的最小值. 【变式】 11．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角