专题17 相似三角形的常见辅助线——2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题17 相似三角形的常见辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系． 主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A”“X”型 例1 1．如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值． 例2 2．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 变式1－1 3．如图，在的边和边上各取一点D和E，且使延长线与延长线相交于F，求证： 变式1－2 4．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 二、作垂线构造相似直角三角形 例3 5．如图从顶点C向和的延长线引垂线和，垂足分别为E、F，求证： 根据模型二构造一线三等角 例4 6．在中，，D是底边上一点，E是线段上一点，且，则与的数量关系为 ． 变式2－1 7．中，∠ACB=90°，，P是上一点，Q是上一点（不是中点），过Q且，交于M、N，求证：． 变式2－2 8．如图，，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点．设，，则关于的函数解析式是 ． 三、作延长线构造相似三角形 例5 9．如图，在梯形中，，若的平分线于点H，，且四边形的面积为21，求的面积． 例6 10．在四边形中，，，则 ． 变式3－1 11．在中，，D是斜边的中点，E是边上一动点，连接，当时，求的长． 变式3－2 12．如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2＝FC•FB． 习题练 13．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（    ） A．（，），（，） B．（，），（，） C．（，），（，） D．（，），（，） 14．已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于.求证：. 15．如图，中，是边上中线，E是上一点，连接且交的延长线于F点．求证：． 16．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD． 问题引入： （1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=　 　；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=　 　（用图中已有线段表示）． 探索研究： （2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 拓展应用： （3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由． 17．已知点D是的中点，过D点的直线交于E，交的延长线于F，求证： 18．已知：在等腰三角形中，是高，求证： 参考答案： 1．5:1 【分析】过点D作的平行线交于点P，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，进而可推得BE=5EF，从而可得BE:EF的值． 【详解】过点D作的平行线交于点P，如图 ∴， ∵BD:DC=2:1 ，E是 AD 的中点， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是作辅助线，构造平行． 2．见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 3．见解析 【分析】过点作，交延长线于点，通过相似三角形的性质即可证明． 【详解】证明：过点作，交延长线于点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的构造方法是解题的关键． 4．见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 5．见解析 【分析】过B作于M，过D作于N，通过构造相似三角形，利用其的性质，即可证明． 【详解】证明：过B作于M，过D作于N ∵ ∴ ∴，即（1） 同理可得：， ∴， ∴（2）， （1）＋（2）得 在和中 ∴ 又∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握辅助线的做法、相似三角形的性质是解题的关键． 6． 【分析】作，交AD于点K；根据题意，得CAK；通过证明AKC，得AK，CK；再根据等腰三角形性质，得，从而得；再根据平行线、相似三角形性质分析，即可得到答案． 【详解】如图