专题15 平行四边形的模型-2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题15 平行四边形的模型 模型一 中点四边形 模型通解 1．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 巧记 1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形． 2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形． 拓展 类型 图形 结论 矩形的中点四边形 四边形是菱形 菱形的中点四边形 四边形是矩形 正方形的中点四边形 四边形是正方形 例题1 2．已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是（  ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形 变式1 3．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（    ）． A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 变式2 4．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（　　） A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD 变式3 5．如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是　　 A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形 B．当M，N，P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为正方形 C．当M，N、P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为菱形 D．当M，N、P、Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为矩形 变式4 6．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形 B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形 D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 变式5 7．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（   ） A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形 C．AC⊥BD D．的面积是的面积的2倍 变式6 8．如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 模型二 十字架模型 模型通解 9．正方形内部，，求证． 巧记 正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直． 点拨 无论怎么变，只要垂直，十字架就会相等． 例题1 10．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为( ) A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 变式1 11．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝ ． 变式2 12．如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G． （1）求证：AE＝BF；（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的边长． 模型三 梯子模型 模型通解 13．如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 巧记 梯子滑动求最值，要把梯子中点取，两条线段相加得结果． 例题1 14．如图所示，一根长2.5米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙不滑，则B端沿地面向右滑行． （1）木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？请说明理由；若不变，求的长． （2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米？ 变式1 15．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（    ）　 A． B． C． D． 变式2 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴