2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习讲义 专题14 勾股定理相关模型

专题14 勾股定理相关模型 模型一：勾股树模型 例1.1 1．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．5 变式1.1－1 2．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1， S2， S3．若S1 36，S2 64，则S3（  ）    A．8 B．10 C．80 D．100 变式1.1－2 3．三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为（    ）    A．164 B．36 C．8 D．6 例1.2 4．下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是（） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 变式1.2－1 5．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　） A．13 B． C．47 D． 变式1.2－2 6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（  ） A．1 B．2021 C．2020 D．2019 模型二：赵爽弦图模型 赵爽弦图的由来：三国时期吴国的数学家赵爽创制了这幅“赵爽弦图”，用数形结合的方式，最早完成了对勾股定理的证明．正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成，设的长为的长为的长为b， ，整理得到． 四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的图案，大正方形面积为49，小正方形面积为4，若x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则有： （1） x2＋y2＝49 勾股定理 （2）x－y＝2 小正方形边长＝长直－短直 （3）2xy＋4＝49 面积算两次 例2.1 7．设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若 xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 变式2.1－1 8．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．5 变式2.1－2 9．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式2.1－3 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2.1－4 11．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示． 根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论∶若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a ____ b 时，ab取得最大值． 拓展： 如图所示，在正方形的四边上分别取点，使得， （1）求证：四边形是正方形． （2）若，求证四边形是正方形． 模型三：风吹树折模型（雷劈模型） 12．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺） 例3 13．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（    ）． A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 变式3－1 14．一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式3－2 15．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米 变式3－3 16．如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部(