专题13 勾股定理证明——2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习

专题13 勾股定理证明 方法1 商高证明法 证明：∵， ， ∴， ∴． 方法2 赵爽弦图 2、以、为直角边，以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这四个直角三角形拼成如图所示形状． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是一个边长为的正方形，它的面积等于． ∵， ． ∴是一个边长为的正方形，它的面积等于． ∴． ∴． 方法3 刘徽证明方法——青朱出入图 3、勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方才幂．开方除之，即弦也．——《九章算术注》 方法4 加菲尔德方法——梯形面积法 4、以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是一个等腰直角三角形，它的面积等于． 又∵，， ∴． ∴是一个直角梯形，它的面积等于． ∴． ∴． 方法5 5.张景中证明方法1——对角线垂直的四边形 方法6 6.张景中证明方法2——悬挂模型 矩形 方法7欧几里得证明 7、做三个边长分别为、、的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使、、三点在一条直线上，连结、．过作，交于点，交于点． ∵，， ， ∴． ∵的面积等于，的面积等于矩形的面积的一半， ∴矩形的面积．同理可证，矩形的面积． ∵正方形的面积矩形的面积矩形的面积 ∴，即． 注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ 注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ 注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ 注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ 方法8杨作玫证明 8、做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、，斜边长为．再作一个边长为的正方形．把它们拼成如图所示的多边形．过作，交于，交于．过作，垂足为．过作与的延长线垂直，垂足为，交与． ∵，， ∴． 又∵，， ， ∴． ∴，． 由作法可知，是一个矩形，所以．即，，从而． ∵， ， ∴， ∴，． 有∵， 方法9陈杰证明 9、设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的成为，做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）． 在上截取，连结、，则． ∵，， ∴． 又∵，， ， ∴． ∴，． ∵， ， ∴． ∴作，，则是一个边长为的正方形． ∵， ∴． 连结，在和中， ∵，，， ∴． ∴，． ∴点、、、在一条直线上． 在和中， ∵，， ∴． ∵，，， ， ∴ ∴． 方法10李锐证明 10、设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的长为．做三个边长分别为、、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）． ∵， ∴． 又∵， ， ∴． ∴． ∴． 又∵， ， ∴． ∵， ， ∴．即． 过作，垂足是．由，可知，而，∴．又．所以．即． 由，有得，． ∵，，， ∴． 又∵，， ∴．即． ∵，，， 又∵，，， ∴ ， 即． 【拓展】 1．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形． 2．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，，求证：四边形是正方形． 3．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，．求证： （1）； （2）； （3）． 例题 4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A．9 B．6 C．4 D．3 变式1 5．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．5 变式2 6．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 巩固练习 7．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．如图，在中，，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为 ． 10．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀