2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习讲义 专题11 全等三角形常用模型

专题11 全等三角形常用模型 模型一:手拉手模型 (一)有公共顶点的等边三角形 (二)有公共顶点的等腰直角三角形 (三)顶角相等的等腰三角形 例1 1.[问题提出] (1)如图均为等边三角形,点分别在边上.将绕点沿顺时针方向旋转,连结.在图中证明. [学以致用] (2)在的条件下,当点在同一条直线上时,的大小为 度. [拓展延伸] (3)在的条件下,连结.若直接写出的面积的取值范围. 变式1 2.(1)如图1,已知 CAB和 CDE均为等边三角形,D在AC上,E在CB上,易得线段AD和BE的数量关系是 . (2)将图1中的 CDE绕点C旋转到图2的位置,直线AD和直线BE交于点F. ①判断线段AD和BE的数量关系,并证明你的结论; ②图2中∠AFB的度数是 . (3)如图3,若 CAB和 CDE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠DEC=90 ,AB=BC,DE=EC,直线AD和直线BE交于点F,分别写出∠AFB的度数,线段AD、BE间的数量关系. 模型二 半角模型 (一)等边三角形中120含60半角模型 (二)等腰直角三角形中90含45半角模型 例2 3.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120 ,∠MBN=60 ,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E、F. (1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系?请将三条线段分别填入后面横线中: + = .(不需证明) (2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时,上述(1)中结论是否成立?请说明理由. (3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时,上述(1)中结论是否成立?若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明. 变式2 4.如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,AC,BD相交于点O. (1)求边AB的长; (2)求∠BAC的度数; (3)如图2,将一个足够大的直角三角板60 角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60 角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF.判断 AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由. 模型三 对角互补模型 (一)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型) 已知直角 ABC和等腰直角 DBC,则AB+AC=AD. (二)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型) 已知直角 ABC和等腰直角 DBC,则AB-AC=AD. (三)“等边三角形对120 模型”. ABC是等边三角形,∠BPC=120 ,则有PB+PC=PA; (四)“120 等腰三角形对60 模型” ABC是等腰三角形,且∠BAC=120 ,∠BPC=60 ,则有PB+PC=PA; 例3 5.如图1,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D,连接BD. (1)观察猜想张老师在课堂上提出问题:线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考,小明出一种思路:如图1,过点B作BE⊥BD,交MN于点E,进而得出:DC+AD= BD. (2)探究证明 将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系,并证明 (3)拓展延伸 在直线MN绕点A旋转的过程中,当 ABD面积取得最大值时,若CD长为1,请直接写BD的长. 变式3 6.如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180 ,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系. (1)思路梳理 将 ABE绕点A逆时针旋转至 ADG,使AB与AD重合,由∠B+∠ADC=180 ,得∠FDG=180 ,即点F,D,G三点共线,易证 AFG≌ AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为_; (2)类比引申 如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上,∠EAF=∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明. (3)联想拓展 如图3,在 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45 ,若BD=1,EC=2,直接写出DE的长为_. 模型四 三垂直模型 【结论】如图所示,,则. 例4 7.如图,AB=BC, AB⊥BC, AE⊥BD于F,BC⊥CD, 求证:EC=AB-CD. 变式4 8.如下图所示,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.DE=6cm,AD=9cm,则BE的长是( ) A.6cm B.1.5cm C.3cm D.4.5cm 模型五 一线