专题10 全等三角形的常见辅助线-2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题10 全等三角形的常见辅助线 方法一 作平行线法 作平行，构造全等．利用的思维模式是全等变换中的“平移”． 【例题1】 1．△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ．（有多种辅助线作法） 变式1 2．如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF，交BC于点D． 求证：DE=DF． 变式2 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论． 变式3 4．如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值. 变式4 5．如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论． 培优 变式5 6．如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上． （1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由； （2）求证：； （3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：． 方法二作垂直法 作垂直，构造全等．分为做1条垂直辅助线和2条垂直辅助线．可以利用通过作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；思维模式是全等变换中的“轴对称”即“对折”． 【例题2】 7．如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC． 变式1 8．如图所示，在四边形中，平分，求证：． 变式2 9．已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、 D. 求证：PC=PD. 变式3 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF． 变式4 11．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：AE平分∠BAD． (2)求证：AD＝AB＋CD． 培优 变式5 12．已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M. （1）用圆规比较EM与FM的大小. （2）你能说明由(1)中所得结论的道理吗? 方法三 倍长中线法 倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“旋转”，可转移元素或将分散的条件聚集拢来． 其主要的图形特征和证明方法如图： 已知：在三角形ABC中，O为BC边中点， 辅助线：延长AO到点D使AO＝DO， 结论：△AOB≌△DOC 证明： 延长AO到点D使AO＝DO， 由中点可知，OB＝OC， 在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△DOC 同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC 规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的． 补充：关于倍长中线的其他方法 ①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO 步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D，易证△BEO≌△CDO（AAS） ②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO 步骤：在AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO＝DO，连接BD，易证△BDO≌△CEO（SAS） 点拨： 倍长中线的思路：已知中线——作中线倍长线——证全等——找大小关系 【例题3】 13．如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（    ）． A． B． C． D．与的长短关系不确定 变式 14．如图，为AD上的中点，则BE＝ ．    变式 15．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    变式 16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE. 求证：AB＝CD . 变式 17．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 培优 变式 18．问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD