2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习讲义 专题21 费马点模型

专题21 费马点模型 费马点模型 【模型分析】 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,这个最小的距离叫做费马距离. 若三角形内有一个内角大于等于120 ,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.若三角形的内角均小于120 ,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角; 1、若三角形有一个内角大于等于120 ,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在 ABC中,∠BAC≥120 ,求证:点A为 ABC的费马点 证明: 如图,在 ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作∠CAP= ∠CAP,并且使得AP=AP,连结PP 则 APC≌ APC,PC=PC 因为∠BAC≥120 所以∠PAP′=∠CAC≤60 所以在等腰 PAP中,AP≥PP′ 所以PA+PB+PC≥PP′+PB+PC>BC=AB+AC 所以点A为 ABC的费马点 2、若三角形的内角均小于120 ,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点. 如图,在 ABC中三个内角均小于120 ,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在 ABC内的交点为O,求证:点O为 ABC的费马点 证明:在 ABC内部任意取一点O,;连接OA、OB、OC 将 AOC绕着点A逆时针旋转60 ,得到 AO′D连接OO′则O′D=OC 所以 AOO′为等边三角形,OO′=AO 所以OA+OC+OB=OO′+OB+O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时,OA+OB+OC最小 此时AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在 ABC内的交点即为点O 3、如图,在 ABC中,若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120 ,O为费马点,则有∠AOB=∠BOC=∠COA=120 ,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 类型一 线段的系数都相同求线段的和的情况(费马点) 考法1:费马点在三角形中运用 例1 1.如图,在 ABC中,P为平面内一点,连结PA,PB,PC,分别以PC和AC为一边向右作等边三角形 PCM和 ACD. 【探究】求证:PM=PC,MD=PA 【应用】若BC=a,AC=b,∠ACB=60 ,则PA+PB+PC的最小值是 (用a,b表示) 【变式】 2.问题提出 (1)如图①,在 ABC中,BC=2,将 ABC绕点B顺时针旋转60 得到 A′B′C′,则CC′= ; 问题探究 (2)如图②,在 ABC中,AB=BC=3,∠ABC=30 ,点P为 ABC内一点,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值,并说明理由; 问题解决 (3)如图③,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=4,∠ABC=∠BCD=60 .在四边形ABCD内部有一点,满足∠APD=120 ,连接BP、CP,点Q为 BPC内的任意一点,是否存在一点P和一点Q,使得PQ+BQ+CQ有最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由. 【变式】 3.如图,在中,,,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90 ,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF. (1)求证:; (2)如图2所示,在点D运动的过程中,当时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使的值最小.当的值取得最小值时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长. 考法2:费马点在四边形中运用 例2 4.如图,P为正方形ABCD内的动点,若AB=2,则PA+PB+PC的最小值为 . 【变式】 5.如图,四边形ABCD是正方形, ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60 得到BN,连接BN、AM、CM. (1)求证: AMB≌ ENB; (2)若正方形的边长为,正方形内是否存在一点P,使得PA+PB+PC的值最小?若存在,求出它的最小值;若不存在,说明理由. 【变式】 6.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60 ,点E、F分别是AB、BC上的动点,连接DE、DF、EF. (1)如图1,连接AF,若AF⊥BC,E为AB的中点,且EF=2,求DF的长; (2)如图2,若BE=BF,G为DE的中点,连接AF、AG、FG,求证:AG⊥FG; (3)如图3,若AB=4,将 BEF沿EF翻折得到 EFP(始终保持点P在菱形ABCD的内部),连接AP、BP及CP,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长. 考法3:费马点在二次函数中运用 例3 7.如图,在平面直角坐标系xoy中,点B的坐标为(0,2),点在轴的正半轴上,,OE为 BOD的中线,过B、两点的抛物线与轴相交于、两