陕西省西安市高新第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 4. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 6. 已知函数在处有极值，则该函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 7. 函数的导函数在区间上的图象大致为 (　　) A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下．则下列说法不正确的是（ ） 柚子 112 113 115 116 117 121 121 122 131 132 猕猴桃 104 106 107 108 113 116 119 121 132 134 A. 每100克柚子维生素C含量的众数为121 B. 每100克柚子维生素C含量的75％分位数为121 C. 每100克猕猴桃维生素C含量平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数 D. 每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差 10. 下列结论中，正确的结论是（ ） A. 若，是的充要条件 B. 命题：，的否定是：， C. 若且，则 D. 若，，则实数 11. 已知为上可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ） A. 正方体的棱切球的半径为 B. 正四面体的棱切球的表面积为 C. 等长正六棱柱的棱切球的体积为 D. 等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在点处切线的方程为______． 14. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______. 15. 若函数在有且仅有3个极值点，2个零点，则的取值范围______ 16. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数取值范围是______． 四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）求函数最小值； （2）若关于的方程有两个不同实数解，求的取值范围． 18. 记的内角、、的对边分别为、、，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=. （1）求证：平面PBC⊥平面PQB； （2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 20. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）设，当时，恒成立，求实数的取值范围． 21. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 2