第3章复数章末小结 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 复数的基本概念 例1　设z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),求当m取何值时, (1)z是纯虚数; (2)z是实数. 【解析】　(1)若z为纯虚数,则 即解得 所以当m=3时,z是纯虚数. (2)若z是实数,则 解得 所以当m=-1或m=-2时,z是实数. 【方法总结】　　复数相关概念的应用技巧 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 题型2 复数的四则运算 例2　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　　). A.-i　　　　　B.i　　　　　C.0　　　　　D.1 (2)(2023年全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　). A.-2 B.-1 C.1 D.2 (3)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(　　). A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】　(1)A　(2)C　(3)D 【解析】　(1)∵z===-i,∴=i,∴z-=-i-i=-i.故选A. (2)∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1.故选C. (3)∵i(1-z)=1,∴z=1-=1+i,∴=1-i,∴z+=2.故选D. 【方法总结】　　利用复数的四则运算求复数的一般思路 (1)复数的加、减、乘法运算:满足多项式的加、减、乘法法则,利用法则后将实部与虚部分别写出即可,注意多项式乘法公式的运算. (2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简. 题型3 共轭复数,复数的模 例3　(1)(2022年全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=(　　). A.4 B.4 C.2 D.2 (2)(2022年北京卷)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　). A.1 B.5 C.7 D.25 【答案】　(1)D　(2)B 【解析】　(1)因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|==2.故选D. (2)由题意有z===-4-3i,故|z|==5.故选B. 【方法总结】　　化复为实,利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化的思想.根据复数模的意义,可以简化计算. 题型4 复数的几何意义及其应用 例4　已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 【解析】　设z=x+yi(x,y∈R), 则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2. 又==(x-2i)(2+i) =(2x+2)+(x-4)i为实数, ∴x=4,∴z=4-2i. 又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在复平面内对应的点在第一象限, ∴解得2<a<6. ∴实数a的取值范围是(2,6). 【方法总结】　　1.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内一点Z(a,b)对应,而任一点Z(a,b)又可以与以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量对应,这些对应都是一一对应,即 2.设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2∈R),其对应的复平面内的点分别为Z1(x1,y1),Z2(x2,y2),所以点Z1,Z2之间的距离为|Z1Z2|=||=|Z2-Z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|= . 题型5 复数的三角形式(*) 例5　把下列复数转化为三角形式: (1)-1;(2)2i;(3)-i. 【解析】　(1)r==1,辐角的主值为θ=arg(-1)=π,所以-1=cos π+isin π. (2)r==2,辐角的主值为θ=arg(2i)=,所以2i=2. (3)r==2,由tan θ==-和点(,-1)在第四象限,得辐角的主值θ=arg(-i)=2π-=, 所以-i=2. 【方法总结】　　复数的代数形式化为三角形式的步骤: (1)复数的模r=; (2)由tan θ=及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角的主值即可); (3)根据公式写出复数的三角形式. 题型6 关于复数的方程问题 例6　已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0. (1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根; (2)证明:对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根. 【解析】　(1)设实数根是a, 则a2-(tan θ+i)a-(2+i)=0, 即a