2025届高三数学一轮复习夯实练43：数列中的综合问题

一轮复习夯实练43　数列中的综合问题 1.(2021·新高考Ⅰ,17)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 2.(2024·福建师大附中模拟)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式: ①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同; ②等额本息:每月的还款额均相同. 银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2023年7月7日贷款到账,则2023年8月7日首次还款).已知该笔贷款年限为20年,月利率为0.4%. (1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息. (2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素). (3)对比两种还款方式,从经济利益的角度考虑,小张应选择哪种还款方式. 参考数据:1.004240≈2.61. 3.(2021·全国乙,文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn<. 4.长江十年禁渔计划全面施行,渔民老张积极配合政府工作,如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资,并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型理财方案. 方案一:年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金; 方案二:年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金. 已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元),且第一次投资时选择了方案一,在每期结束后,老张不间断地进行下一期投资,并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资. (1)设第i次投资(i=1,2,3,…,n)选择方案一的概率为Pi,求P4; (2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元). 注:若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资,则该次投资获利W=2.4%××1 000=10元. 5.(2024·浙江温州模拟)图中的数阵满足:每一行从左到右成等差数列,每一列从上到下成等比数列,且公比均为实数q,a1,1>0,a1,3=5,a2,2=-6,=a7,5. a1,1　a1,2　a1,3　…　a1,n　… a2,1　a2,2　a2,3　…　a2,n　… a3,1　a3,2　a3,3　…　a3,n　… a4,1　a4,2　a4,3　…　a4,n　… … … … … … … (1)设bn=an,n,求数列{bn}的通项公式. (2)设Sn=a1,1+a2,1+…+an,1,是否存在实数λ,使an,1≤λSn恒成立?若存在,求出λ的所有值;若不存在,请说明理由. 6.(2024·辽宁鞍山模拟)已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn,若Sn+1+Sn=3n2+6n+3,a1=2. (1)记bn=an+an+1,判断{bn}是否为等差数列,若是,给出证明;若不是,请说明理由. (2)记cn=(-1)n+1anan+1,{cn}的前n项和为Tn,求Tn. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，递增的等比数列{bn}满足b1＋b4＝18，b2·b3＝32. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn. 8.记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 9.已知数列{an}满足a1＝，3an,2an＋1，anan＋1成等差数列． （1）证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）记{an}的前n项和为Sn，求证：≤Sn<. 参考答案 1.解 (1)(方法一)显然2n为偶数,则a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1, 所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2, 所以{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,于是b1=2,b2=5,bn=3n-1. (方法二　奇偶分类讨论)由题意知a1=1,a2=2,a3=4, 所以b1=a2=2,b2=a4=a3+1=5. 由an+1-an=1(n为奇数)及an+1-an=2(n为偶数)可知,数列从第一项起, 若n为奇数,则其后一项减去前一项的差为1, 若n为偶数,则其后一项减去前一项的差为2. 所以an+2-an=3(n∈N*),则bn=b1+(n-1)×3