2.1两角和与差的三角函数教案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

《两角和与差的三角函数》教案 课题 2.1两角和与差的三角函数 单元 第二单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握三角函数的相关知识，为三角函数的学习打好基础的同时，也能学习利用三角函数解决实际问题。 4.直观想象：两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式； 5.数学运算:能够正确运算两角和与差的余弦、正弦和正切公式； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 重点 难点 重点：两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式。 难点：两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式。 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 在平面直角坐标系内，若坐标系固定不动，将平面上任意一点P绕原点0旋转角β，可以怎样描述这个旋转呢? 平面上的图形都是由点组成的，只要能够由每个点P的坐标(x，y)计算出它旋转到的新位置点P´(x´,y´)的坐标，就明确描述了这个旋转，并且能够知道图形旋转后在平面上的位置。 如图,设Ox为x轴的非负半轴,∠xOP=, |OP|=r,则点P的坐标(x,y)=(rcos,rsin)。将点P顺时针旋转角β,其对应点为点P´,则|OP´|=|OP|=r,∠xOP´=-β,从而点P´的坐标为(rcos(-β),rsin(-β))。 于是，根据点P的坐标与旋转角β求点P´的坐标的问题就可归结为: 怎样由角,β的三角函数值求角,β的三角函数值cos(,β)和,β)? 新知探究 新知探究（一）：两角和与差的余弦公式 我们首先来探究角-β的余弦值，即cos(-β)等于多少。 当-β∈[0,π]时，如图，设=∠xOP，β=∠xOP´，在这两个角的终边上分别取两个单位向量OA=a,OB=b,则∠AOB=-β就是a与b的夹角。 根据前面所学的向量知识可知，a,b的数量积为 a·b=lalblcos<a,b> =cos<a,b> 由平面向量基本定理知， a=(cos, sin), b=(cosβ,sinβ), 则a·b=(cos,sin)·(cosβ,sinβ) =coscosβ+sinsinβ. 所以cos<a,b>= coscosβ+sinsinβ. ① 又当-β∈[0,π]时，cos<a,b>=cos(-β), 因此cos(-β)=coscosβ+sinsinβ. 对任意的,β,总可以选取适当的整数k，使得-β-2kπ∈[-π,π).记=β+2kπ,则与β的终边相同,且-∈[-π,π),如图,从而0≦|-|≦π,则|-|就是a,b的夹角<a,b>. 因此，cos<a,b>=cos|-|=cos(-) =cos(-β-2kπ) =cos(-β) ② 将②代入①，得到 cos(-β)=coscosβ+sinsinβ 我们将上式称为两角差的余弦公式(简记为). 注意到+β与-β之间的联系: +β=-(-β). 由可得 cos(+β)=cos[-(-β)] =coscos(-β)+sinsin(-β) =coscosβ-sinsinβ 由此，我们得到两角和的余弦公式(简记为). cos(+β)=coscosβ-sinsinβ 练一练 化简下列式子，并求值。 （1）cos(+55°)cos(+10°)+sin(+55°)sin(+10°)； （2）cos55°cos25°+cos35°cos65°. 分析：(1)根据式子的结构特征，逆用两角差的余弦公式化简; (2)由于65°与25°,35°与55°互余，cos=sin(-).根据式子的结构特征，先将cos35°cos65°转换为sin55°sin25°，再逆用两角差的余弦公式化简。 （1）原式=cos[(+55°)-(+10°)] =cos(55°-10°) =cos45° = (2)原式=cos55°cos25°+sin55°sin25° =cos(55°-25°) =cos30° = 总结归纳：(1)熟悉公式的结构特征; (2)在两角和与差的余弦公式中,,β可以是单角，也可以是一个代数式，解题时代数式一