圆锥曲线不联立求解过定值问题讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线不联立求解过定值问题讲义 例1如图所示, 已知椭圆的左焦点为, 过点作轴的垂线交椭圆于两点, 且. (1)求椭圆的标准方程; (2) 若为椭圆上异于的两点, 且直线的倾斜角互补, 问直线的斜率是否为定值? 若是, 求出这个定值, 若不是, 请说明理由. 解析(1) (2) 由点差法模型 ∵, 型 作差: . 例 例2 已知椭圆的离心率为, 且过点. (1)求的方程; (2) 点在上, 且为垂足. 证明: 存在定点, 使得为定值. 解析(1) (2) 由点差法模型设 由题意可知: 作差得: 由两点式 对照得: 恒过 根据直角三角形斜边中线是斜边一半,为中点时, 此时为定值 练习 1．已知椭圆经过点，其离心率为，设，，是椭圆上的三点，且满足，其中为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的面积是一个常数． 2．如图，过椭圆上的定点作倾斜角互补的两直线，设其分别交椭圆于两点，求证：直线的斜率是定值. 3．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足. (1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积. 4．已知椭圆离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上有四个动点，，，，且与相交于点. ①若点的坐标为，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，求的斜率; ②若直线与的斜率均为时，求直线的斜率. 5．已知椭圆E：过点，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点． 6．已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点． ①求证：； ②求证：为定值． 7．已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点. (1)若点为上一动点，求的最大值与最小值； (2)若，求的斜率； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 8．已知，分别为有心二次曲线的左、右焦点，为曲线上任意一点，直线，分别交曲线于点（异于点），设，，求证：为定值． 9．已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H. (1)求椭圆E的方程； (2)问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由. 10．在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”． (1)求“椭圆”的方程； (2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由； (3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$