圆锥曲线不联立求解过定点问题讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线不联立求解过定点问题讲义 例 1 .已知椭圆经过点, 且右焦点为. (1)求的标准方程; (2) 过点的直线与椭圆交于两个不同的点, 直线与轴交于点, 直线与轴交于点, 证明: 以为直径的圆过轴上的定点. 解析(1) (2) 设由三点共线: 所在直径的圆: 令得 过. 例2已知椭圆的左右焦点分别为, 离心率为为上一点, 且的面积的最大值为 4 (1)求的方程 (2) 若直线与交于两点, 过点作直线的垂线, 垂足为, 若直线与轴交于定点, 求的值及定点的坐标. 解析(1) (2) 设, 由三点共线得: 又设: 得 练习 1.已知椭圆经过点,下顶点为抛物线的焦点. (1)求椭圆的方程; (2)若点均在椭圆上,且满足直线与的斜率之积为, ( )求证:直线过定点; ( )当时,求直线的方程. 2.已知椭圆C:.过点,两个焦点为和.设E,F是椭圆C上的两个动点. (1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2,证明:直线EF恒过定点; (2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2,证明:直线EF恒过定点. 3.已知椭圆的左顶点为,,为上的两个动点,记直线,的斜率分别为,,若,试判断直线是否过定点.若过定点,求该定点坐标;若不过定点,请说明理由. 4.平面内一动点P到直线的距离,是它到定点的距离的2倍. (1)求动点P的轨迹的方程; (2)经过点F的直线(不与y轴重合)与轨迹相交于M,N两点,过点M作y轴平行线交直线l于点T,求证:直线过定点. 5.已知椭圆的左右顶点分别为A、B,点C在E上,点分别为直线上的点. (1)求的值; (2)设直线与椭圆E的另一个交点为D,求证:直线经过定点. 6.左、右焦点分别为的椭圆经过点,为椭圆上一点,的重心为,内心为. (1)求椭圆的方程; (2)若为直线上一点,过点作椭圆的两条切线为切点,问直线是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 7.已知椭圆的左右焦点分别为,,其长轴长为6,离心率为e且,点D为E上一动点,的面积的最大值为,过的直线,分别与椭圆E交于A,B两点(异于点P),与直线交于M,N两点,且M,N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线,垂足为H. (1)求椭圆E的方程; (2)问:平面内是否存在定点Q,使得为定值?若存在,请求出Q点坐标;若不存在,请说明理由. 8.已知椭圆,,若直线l交椭圆C于A,B(A,B异于点P)两点,且直线PA与PB的斜率之积为,求点P到直线l距离的最大值. 9.如图,已知椭圆的左顶点为,离心率为是直线上的两点,且,其中为坐标原点,直线与交于另外一点,直线与交于另外一点. (1)记直线的斜率分别为,求的值; (2)求点到直线的距离的最大值. 10.已知椭圆的左､右焦点分别为过点,且的长轴长为8. (1)求的方程. (2)设的右顶点为点,过点的直线与交于两点(异于),直线与轴分别交于点,试问线段的中点是否为定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $$