解三角形之周长取自范围专练-2024届高三数学二轮复习

解三角形之周长取自范围 一、填空题 1．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 2．已知分别为三个内角的对边，，且，则周长的取值范围为 ． 3．设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为 ． 二、解答题 4．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角B的值； (2)若，求的取值范围． 5．在锐角中，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 6．中，D为BC边的中点，. (1)若的面积为，且，求的值； (2)若，求的周长的最大值. 7．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，． (1)求角； (2)求的取值范围． 8．如图，中，角、、的对边分别为、、. (1)若，求角的余弦值大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 9．记△的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的范围. 10．如图1，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图2），过D作，交于点E． (1)证明：； (2)求； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 11．在中，内角对应的边分别为，，，若. (1)证明：； (2)求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共10页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形之周长取值范围 一、填空题 1．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 解析】因为，则，， 又， 故由正弦定理可得： ， 又为锐角三角形，故可得， 解得，则， 由于，在上单调递增， 当当， 故， 即． 故答案为：． 2．已知分别为三个内角的对边，，且，则周长的取值范围为 ． 解析因为，， 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立． ∴，∴， 又因为，所以， 即周长取值范围为. 故答案为：. 3．设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为 ． 解析锐角中，角所对的边分别为, ,且, . ， ∴, ， ∴由正弦定理可得：， ∴, 故的取值范围为． 故答案为：. 二、解答题 4．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角B的值； (2)若，求的取值范围． 解析（1）因为， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； （2）由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 5．在锐角中，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 解析（1）由题意，根据正弦定理可得， 则，展开可得， . （2）由正弦定理， 则 ，其中， 是锐角三角形，，. ，， 显然，当时，， . 6．中，D为BC边的中点，. (1)若的面积为，且，求的值； (2)若，求的周长的最大值. 解析（1）设，由，即，解得； 在中，，由余弦定理得，， 即，解得； 由正弦定理得：，即，解得. （2）设，， 则中，， 中，， 因为，，所以，即； 由得，当且仅当时取得等号； 所以，当且仅当时取得等号， 即的周长的最大值为. 7．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，． (1)求角； (2)求的取值范围． 解析1）因为与垂直， 所以， 即， 即， 即， 即，又，所以， 所以，即； （2）由正弦定理得 ， 根据三角形是锐角三角形得， 解得，则，所以， 所以，则， 则的取值范围为. 8．如图，中，角、、的对边分别为、、. (1)若，求角的余弦值大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 解析（1）在中，由及正弦定理，得即， 则，整理得，而，即. （2）在中，， 由余弦定理得，即， 于是，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值. 9．记△的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的范围. 解析（1）由正弦定理得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为，则， 因为, 所以. 所以. 因为.所以.所以， 所以. 10．如图1，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图2），过D作，交于点E． (1)证明：； (2)求； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 解析（1）证明：由题意有，，，，， 注意到，， 所以，， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）如图，作于H，则，， 由于，则；又， 故，则， 设，    由，得， 解得，即； （3）由以上分析可知两两垂直， 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，    由上述分析知， 故， 得，，， 所以，，， 设是平面的法向量，则， 即，令