第5.2讲 新结构题型中第19题考点预测之与大学知识相关-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第5.2讲 新结构题型中第19题考点预测之与大学知识相关 本节题目专门针对新结构题型的第19题（17分），难度系数困难 ①初等数论 ②矩阵与变换 ③导数与极限 题型一：初等数论 【例1】（22-23高三上·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 【答案】(1)8 (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）由题意可知时符合题意； （2）由题意可得，，根据等比数列的定义可得，进而，则为，即可求出a； （3）由题意可得，，则，结合放缩法和裂项求和法即可证明. 【详解】（1）当时,正整数的4个正约数构成等比数列， 比如为8的所有正约数，即. （2）由题意可知，， 因为，题意可知，所以， 化简可得，所以， 因为，所以，因此可知是完全平方数. 由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以， 所以为，所以. （3）由题意知，， 所以， 因为， 所以 ， 因为，，所以，所以，即. 【点睛】关键点点睛：在第二问的解答中，在得到后，要能根据，推得，继而得出，这是解决问题的关键.第三问的证明中，难点在于要能注意到，，从而可得，然后采用裂项求和的方法进行化简进而证明结论. 一、解答题 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：. (1)求证：； (2)解方程：； (3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值： (3)若为满集，，求的最小值. 3．（23-24高三下·河北·开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为． (1)求证：； (2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题： ①证明：对于任意整数x都有； ②求方程的正整数解的个数． 4．（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． (1)若，求； (2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； (3)已知．对，令．证明：． 5．对于正整数，如果严格递增的非负整数数列，使得所有非负整数可以唯一地表示为，其中i､j､k可以相同，则称数列，为好的. （1）证明：对任意正整数n，存在唯一的好的数列. （2）已知存在最小的正奇数m，使得在好的数列中有，求的值. 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，的前n项和为.若对任意的恒成立. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足问：是否存在正整数，使得，若存在求出的值，若不存在，说明理由； （3）若存在各项均为正整数､公差为的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使得成等比数列，求的所有可能的值. 题型二：矩阵与变换 【例1】（23-24高三上·河南·期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点 (1)①若，，求； ②证明. (2)记的面积为 ，证明：. (3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 （1）①由向量叉乘的定义直接求解即可；②设，,根据叉乘的运算表示和即可证明； （2）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后根据（1）的运算证明即可； （3）由（2），通过变形可得，即可证明. 【详解】（1）① 因为，， 则； ② 设，，则 ， 将与互换，与互换，与互换， 可得，故； （2）因为 ， 故， 故要证， 只需证，即证， 由（1），，， 故， 又， ，， 则成立，故； （3）由（2）， ， 故， 故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 【点睛】 方法点睛：利用向量的叉乘定义逐项分析，利用向量数量积的定义，结合三角形的面积公式，利用分析法证明. 一、解答题 1．对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determi