备战2024年中考数学一模高频考点微专题靶向靶向培优-旋转之托勒密定理

备战2024年中考数学一模高频考点微专题靶向靶向培优 旋转之托勒密定理 1、 定理导入 在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则：． 语言叙述： 圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和． 2、 特例拓展 1.当△ABC是等边三角形时， 如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：， 又等边△ABC有AB=AC=BC， 故有结论：． 2.如图2，当点D在弧BC上时，故有结论：DA=DB+DC． 3. 推广结论： 当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c， 根据托勒密定理可得： 3、 过关练习 1.（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，如果AB＝AC＝，CD＝1，求AD的长． （2）在（1）的条件下，如图2，设对边BA、CD的延长线的交点为P，求PA、PD的长． 2.已知内接于，∠BAC的平分线交于点，连接，． （1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等 量关系式：　　； （2） 如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系， 并证明你的结论； （3）如图③，若，，求的值． 3.圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ________． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　　． （2）已知，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求证：BD＝AB+BC． 4.如图1，已知⊙O内接四边形ABCD， （1）求证：AC•BD＝AB•CD+AD•BC． （2）任务二：如图2，已知Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交⊙O于点D，求CD的长． 5.问题探究： （1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短． （2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA＝PB+PC． 问题解决： （3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由． 6.问题背景： 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②，易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 简单应用： （1）在图①中，若，，则　　． （2）如图③，是的直径，点、在上，，若，， 求的长． 拓展规律： （3） 如图④，，，若，，求的 长（用含，的代数式表示） （4） 如图⑤，，，点为的中点，若点满足， ，点为的中点，则线段与的数量关系是　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$