4.5.2 几种简单几何体的体积学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5 课时2 几种简单几何体的体积 【学习目标】 1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究,掌握柱体、锥体、台体、球的体积的求法.(直观想象、数学运算) 2.会求柱体、锥体、台体、球的体积.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.什么是锥体的高? 2.什么是台体或柱体的高? 3.柱体、锥体的体积分别是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)棱锥的体积等于底面面积与高之积. (　　) (2)棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差. (　　) (3)若两个柱体的体积相等,则表面积相等. (　　) (4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关. (　　) 2.若长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　). A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3 D.125 cm3 3.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为(　　). A.2 B.4 C.6 D.12 【合作探究】 探究1　柱体的体积 现有一张边长为10 cm的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成底面边长为6 cm的无盖包装盒. 问题1:该无盖包装盒是哪种几何体? 问题2:该包装盒的体积是多少? 新知生成 棱柱的体积:V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高). 圆柱:V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的母线长). 新知运用 例1　如图1,一个正三棱柱形容器中盛有水,底面三角形ABC的边长为2 cm,侧棱AA1=4cm,若侧面AA1B1B水平放置时(如图2),水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点. (1)求容器中水的体积; (2)当容器底面ABC水平放置时(如图1),求容器内水面的高度. 方法指导　(1)在图2中,根据四棱柱的体积公式计算可得;(2)设图1中水的高度为h cm,根据水的体积相等得到方程,求解即可. 【方法总结】　　常见的求柱体体积的方法 (1)公式法:直接代入公式求解. (2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. 若在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　). A.8 B.6 C.8 D.10π 探究2　锥体的体积 对24小时内降水在平地上的积水厚度(单位:mm)进行如下定义: 0~10 10~25 25~50 50~100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水. 问题1:接水的容器是哪种几何体? 问题2:如何计算容器内水的体积? 问题3:这一天的雨水属于哪个等级? 新知生成 1.棱锥:V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高). 2.圆锥:V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h为圆锥的高). 新知运用 例2　如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,AC交BD于点O,PO⊥平面ABC,E为AD的中点,点F在PA上,AP=3AF. (1)证明:PC∥平面BEF.(2)若AB=2,∠ADB=∠BPD=60°,求三棱锥A-EFB的体积. 方法指导　(1)设AO交BE于点G,根据平行线分线段成比例可得=,即可根据==得到GF∥PC,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)由等积法可知VA-BEF=VF-ABE,即可解出. 【方法总结】　　求锥体体积的方法 (1)公式法:直接代入公式求解;(2)等体积法:因为四面体的任何一个面都可以作为底面,所以选用底面积和高都易求的形式即可. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PD=AD=AB=2,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,E为PC上一点,且PE=2EC. (1)证明:AD⊥PB. (2)求三棱锥P-EBD的体积. 探究3　台体的体积 问题1:我们知道台体是由锥体用平行于底面的平面所截得到的,那台体可以由原棱锥的体积减去截得的小棱锥的体积得到吗? 问题2:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系吗? 新知生成 1.棱台:V棱台=(S'++S)h(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高). 当S'=S时,棱台变为棱柱,棱台的体积公式也就是棱柱的体积公式;当S'=0时,棱台变为棱锥,棱台的体积公式也就是棱锥的体积公式. 2.圆台:V圆台=πh(r2+rr'+r'2)(其中r',r分别是圆台的上、下底面的半径,h为圆台的高). 3.棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系 新知运用 例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知当该水库水位为海拔14