4.5.1 几种简单几何体的表面积学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5 课时1 几种简单几何体的表面积 【学习目标】 1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究,掌握柱体、锥体、台体、球的表面积的求法.(直观想象、数学运算) 2.了解柱体、锥体、台体、球的表面积计算公式.(直观想象、数学运算) 3.能运用柱体、锥体、台体、球的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫金字塔一直是世界上最高的建筑物,呈正四棱锥形.在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的?这真是一个十分难解的谜. 1.如果已知金字塔的底面边长和侧棱长,如何计算胡夫金字塔的侧面积? 2.怎样计算柱体、锥体、台体的表面积? 3.球的表面积如何计算? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. (　　) (2)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. (　　) (3)把柱体、锥体、台体的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图形状都相同,面积都相等. (　　) (4)空间几何体的侧面积即是表面积. (　　) 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积之比为(　　). A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2 3.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,则该四棱台的表面积为　　　　.  【合作探究】 探究1　棱柱的表面积 问题1:棱柱的侧面展开图是什么? 问题2:如果是直棱柱,其侧面展开图是什么图形? 问题3:你能求出直棱柱的表面积吗? 新知生成 1.直棱柱 S直棱柱侧=Ch,其中C为直棱柱的底面周长,h为直棱柱的高. 2.表面积 一般地,表面积=侧面积+底面积. 新知运用 例1　已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,侧棱长为2,其中一条侧棱AA1与底面△ABC两边AB,AC所在直线的夹角为45°,则该斜三棱柱的侧面积为　　　　.  方法指导　首先证得CC1⊥B1C1,然后分别求出三个侧面的面积再相加即可得出结果. 【方法总结】　　求棱柱的表面积的方法:(1)对于直棱柱,可以直接利用公式求解;(2)对于斜棱柱,可将其展开,分别求出各个面的面积,再相加. 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长分别为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积. 探究2　棱锥的表面积 问题1:三棱锥的展开图是什么? 问题2:已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,点P到底面ABC的距离为3,如何求该三棱锥的表面积? 问题3:已知如图所示的正棱锥,如何求它的侧面积? 新知生成 S正棱锥侧=Ch',其中C为正棱锥的底面周长,h'为侧面等腰三角形的高. 新知运用 例2　法国卢浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状(如图所示),已知塔高21 m,底宽34 m,则塔身的表面积(精确到1 m2)约是(　　).(参考数据:≈27,342=1156) A.3674 m2 B.2993 m2 C.1836 m2 D.1682 m2 方法指导　由题意可得正四棱锥的底面边长与高,代入棱锥的表面积公式求解. 【方法总结】　　正棱锥的侧面是等腰三角形,只要弄清楚相对应的元素,求解就会很简单. 若一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　). A.8 B.12 C.16 D.20 探究3　棱台的表面积 “李白斗酒诗百篇,长安市上酒家眠”,本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具,后又作为计量粮食的工具.某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”,用它研究“斗”的相关几何性质. 问题1:你能画出这个“斗”的展开图吗? 问题2:棱台的侧面展开图是由什么构成的?如何计算它的表面积? 问题3:若该四棱台的上、下底面的边长分别是2,4,高为1,你能求出该四棱台的表面积吗? 新知生成 S正棱台侧=(C+C')h',其中C,C'分别为棱台的上、下底面周长,h'为棱台侧面的高. 新知运用 例3　木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示),呈正棱台形,一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形,底面是一个封口较小的正方形.现有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52 cm,底面周长为40 cm,侧面等腰梯形的腰长为8 cm,则该木升子的侧面积约为(　　).(结果精确到0.1 cm2,参考数据:≈15.72) A.90.4 cm2 B.180.8 cm2 C.361.6 cm2 D.368.0 c