4.3课时 直线与平面垂直的性质学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3 课时5 直线与平面垂直的性质 【学习目标】 1.掌握线面垂直的性质定理.(逻辑推理、直观想象) 2.理解点到面、线到面的距离的概念,并会求简单的点(线)到面的距离.(直观想象、数学运算) 3.理解直线与平面所成的角的概念,并会求简单的直线与平面所成的角.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系呢? 2.垂直于同一个平面的两条直线有什么位置关系? 3.如果一条直线与平面垂直,那么这条直线与平面所成的角是多少?若直线与平面不垂直,则如何找直线与平面所成的角? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线与平面所成的角为θ,则0°<θ≤90°. (　　) (2)若直线l与平面α所成的角为60°,且m⊂α,则直线l与m所成的角也是60°. (　　) (3)若直线a∥平面α,直线b⊥平面α,则直线b⊥直线a. (　　) (4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α. (　　) 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　;AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　;AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　.  3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(　　). A.1 B. C.2 D.2 【合作探究】 探究1　直线与平面垂直的性质定理 问题1:观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间有什么位置关系? . 问题2:已知直线a⊥α,直线b⊥α,那么直线a,b一定平行吗?如何用语言叙述该结论? 问题3:你能发现线面垂直的其他性质吗? 问题4:两条异面直线能垂直于同一个平面吗?为什么? 新知生成 直线与平面垂直的性质定理 文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言:若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 新知运用 例1　如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1. 方法指导　要证明EF∥BD1,只需证明BD1⊥平面AB1C,且EF⊥平面AB1C,然后利用线面垂直的性质得出结论. 【方法总结】　　证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行的定义,证共面且无公共点. (2)利用三线平行公理,证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理,把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直. 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l. 探究2　点到平面、直线到平面的距离 问题1:我们知道求点到直线的距离的方法是过该点作直线的垂线,那么如何求点到平面的距离呢? 问题2:如果直线与平面相交,那么直线到平面的距离是多少? 问题3:已知直线与平面平行,如何求直线到平面的距离? 新知生成 1.点到平面的距离 过一点S向平面ABC作垂线,垂足为A,则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离. 2.直线与平面的距离 一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线与这个平面的距离. 新知运用 例2　如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1. (1)求证:PC⊥AB. (2)求点P到平面ABC的距离. 方法指导　(1)取AB的中点D,连接PD和CD,证得AB⊥PD,AB⊥CD,根据线面垂直的判定,证得AB⊥平面PCD,进而得到PC⊥AB. (2)过点P作PK⊥CD,垂足为K,证得PK⊥平面ABC,得到PK即为点P到平面ABC的距离,在△PDC中,得到PK=PDsin∠PDC,即可求解. 【方法总结】　　求点到平面的距离,关键是找到该点到平面的垂线段,然后转化到三角形中,通过解三角形求解. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,E是AA1的中点.若EF∥平面A1BC,求EF到平面A1BC的距离. 探究3　直线与平面所成的角 问题1:直线与平面垂直是直线与平面相交时的一种特殊情况,当它们不垂直时,可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的,如何刻画这种不同呢? 问题2:如何作直线与平面所成的角? 问题3:直线与平面所成的角的范围是多少? 新知生成 1.直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角. 2.直线与平