4.3 课时4 直线与平面垂直的判定 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3 课时4 直线与平面垂直的判定 【学习目标】 1.了解线面垂直的定义,掌握线面垂直的判定定理,初步学会用定理证明线面垂直关系.(逻辑推理、直观想象) 2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(逻辑推理、直观想象) 【自主预习】 1.什么叫直线与平面垂直? 2.怎样判定直线与平面垂直? 3.我们知道,如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗? 1.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是(　　). A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直 C.l在平面α内 D.不能确定 2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　). A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 3.若直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能(　　). A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 【合作探究】 探究1　直线与平面垂直的定义 鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫作曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图,如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直. 问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗? 问题2:问题1说明了直线与平面垂直的条件是什么? 问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗? 新知生成 1.线面垂直的定义 如果一条直线l与一个平面α相交,并且垂直于这个平面内的　所有直线　,那么就称这条直线l与这个平面α垂直.直线l叫作平面α的　垂线　,平面α叫作直线l的　垂面　,它们的交点叫作　垂足　.记作l⊥α.  2.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 新知运用 例1　下列说法中正确的个数是(　　). ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α; ②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α; ③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线; ④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 【方法总结】　　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可能的情况有直线与平面斜交、平行或直线在平面内. 给出下列说法: ①若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行; ②若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b; ③若a⊥b,b⊥α,则a∥α. 其中正确的是　　　　.(填序号)  探究2　直线与平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).如图,观察折痕AD与桌面的位置关系. 问题1:折痕AD与桌面一定垂直吗? 问题2:当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直? 问题3:由问题2,你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗? 问题4:若把两条相交直线改为两条直线,直线与平面一定垂直吗? 新知生成 直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言:若一条直线与一个平面内的　两条相交直线　都垂直,则该直线与此平面垂直.  (2)符号语言:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,　a∩b=P　⇒l⊥α.  (3)图形语言: 新知运用 例2　如图所示,S为Rt△ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:直线SD⊥平面ABC. 【变式探究】在本例中,若AB=BC,其他条件不变,则BD与平面SAC的位置关系是什么? 【方法总结】　　应用线面垂直判定定理的注意事项 (1)要判定一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的. (2)在应用判定定理时,切记要抓住“相交”二字,它把线面垂直转化为线线垂直,即“l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=A⇒l⊥α.” 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E是PB的中点.求证: (1)BC⊥平面PAB; (2)AE⊥PC. 探究3　直线与平面平行、垂直的综合 例3　已知在三棱柱ABC-DEF中,四边形BCFE为矩形. (1)记平面BCD与平面DEF的交线为l,求证:l∥平面BCFE. (2)若CD⊥DE,求证:AC⊥BD. 【方法总结】