4.3课时1空间中直线与直线的位置关系学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3 课时1 空间中直线与直线的位置关系 【学习目标】 1.会判断空间两直线的位置关系.(直观想象) 2.理解异面直线的定义.(直观想象) 3.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.(直观想象、逻辑推理) 【自主预习】 1.什么是异面直线? 2.空间中两直线的位置关系有哪几种? 3.平面内平行线具有传递性,空间内平行线具有传递性吗? 4.空间等角定理的内容是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. (　　) (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等. (　　) (3)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (　　) 2.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=(　　). A.30° B.150° C.30°或150° D.大小无法确定 3.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则直线MN与A'C'的位置关系是　　　　.  【合作探究】 探究1　空间中直线与直线的位置关系 问题1:我们知道,火车的铁轨是互相平行的,永远没有交点,空中架设的高压线有时互相穿过但不相交,把它们想象成一条条直线,从中你能找出直线与直线的位置关系吗? 问题2:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? 新知生成 1.异面直线 把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 2.空间中两直线的位置关系 (1)相交——在同一个平面内,两条直线有且只有一个公共点; (2)平行——在同一个平面内,两条直线没有公共点; (3)异面——两条直线不同在任何一个平面内,没有公共点. 新知运用 例1　(1)已知正方体表面的一种展开图如图所示, 则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 (2)以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是(　　). 　 A　　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　　　 D 【方法总结】　　判断空间中两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线. (2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系. 若一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是(　　). A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 探究2　平行直线 问题:观察台阶,每个台阶的边沿所在的直线有什么关系? 新知生成 基本事实4 (1)文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行. (2)符号语言:若a,b,c为空间中三条不重合的直线,且a∥b,b∥c,则a∥c. 新知运用 例2　如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'. 方法指导　根据平行线的传递性证明. 【方法总结】　　证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. (2)利用基本事实4,即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b. 如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,求证:GH∥MN. 探究3　等角定理 观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'. 问题1:同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.空间中是否有类似规律? 问题2:这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系? 问题3:测量一下,这两个角的大小关系如何? 新知生成 等角定理 (1)文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (2)符号语言:对于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C'⇒∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°. 新知运用 例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点. 求证:∠EA1F=∠E1CF1. 方法指导　要证明∠EA1F=∠E1CF1,可证明A1F∥CF1,A1E∥CE1且射线A1E与CE1,射线A1F与CF1的方向分别相反. 【方法总结】　　(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的:①若一个角的两边与另一个角的两边分别对