4.2平面学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.2 平面 【学习目标】 1.了解平面的表示法,点、直线与平面的位置关系.(数学抽象、直观想象) 2.掌握关于平面的三个基本事实及推论.(逻辑推理、直观想象) 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象、直观想象) 【自主预习】 1.平面的表示方法有哪些? 2.平面是由点组成的,直线也是由点组成的,联想集合的观点,若点A在直线l上,l在平面α内,则点A和直线l、平面α的位置关系如何表示?直线l和平面α呢? 3.两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. (　　) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于点A,记作α∩β=A. (　　) (3)空间不同三点确定一个平面. (　　) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. (　　) 2.如图,平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　). A.平面MN B.平面MP C.平面α D.平面MNPQ 3.若点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　). A.A⊂a,a⊂α,B∈α B.A∈a,a⊂α,B∈α C.A⊂a,a∈α,B⊂α D.A∈a,a∈α,B∈α 【合作探究】 探究1　平面 照片中是平静的湖面、餐桌、教室的课桌. 问题1:湖面、餐桌、教室的课桌给人以怎样的印象? 问题2:在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象而来的,那么现在的平面又是怎么来的呢?它有什么特点呢? 问题3:一个平面能否把空间分成两部分? 新知生成 1.平面的概念 几何里所说的“平面”是从桌面、黑板面、平静的湖面等这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是　向四周无限延展　的,是没有宽度和厚度的.  2.平面的画法:(1)常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面.当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向.如图①. (2)在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些.如图②. 3.表示法:可以用小写希腊字母α,β,γ等来表示;用　两个大写的英文字母　(表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示;用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的　四个顶点　)来表示.  新知运用 一、平面的概念 例1　(1)有下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长为50 m,宽为20 m;④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中真命题的个数为　　　　.  (2)下图中的两个平面相交,其中画法正确的是　　　　.  【方法总结】　　平面具有如下特点:①平面是平的;②平面是没有厚度的;③平面是无限延展而没有边界的;④平面是由空间的点、线组成的无限集合;⑤平面图形是空间图形的重要组成部分. 下列说法正确的是　　　　.  ①平面的形状是平行四边形; ②任何一个平面图形都可以表示平面; ③平面ABCD的面积为100 cm2; ④空间图形中,后作的辅助线都是虚线. 例2　用符号表示下列语句,并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l,直线a与平面α,β分别相交于点A,B; (2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上. 【方法总结】　　三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意被遮挡部分用虚线表示. 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ相交于点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. 探究2　平面的基本事实 在日常生活中,我们经常看到这样的场景:自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 问题1:上述是一种什么原理呢? 问题2:若直线与平面只有一个公共点,则直线在平面内吗?若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内吗? 问题3:把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗? 新知生成 1.平面的基本事实 基本事实内容图形符号 基本事实1如果一条直线上的两个点在一