5.3 三角函数的图象与性质 教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《三角函数的图象与性质》教案 课题 5.3三角函数的图象与性质 单元 第五单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：理解正弦函数的图象与性质 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 3.数学建模：掌握角的相关知识，为角的学习打好基础的同时，也能学习利用角解决实际问题 4.直观想象：理解余弦函数的图象与性质 5.数学运算：理解正切函数的图象与性质 重点 难点 重点：画出正弦函数、余弦函数和正切函数的图像 难点：了解正弦函数。余弦函数和正切函数的性质：周期性、值域与最值，奇偶性和单调性 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 有什么办法做出函数的图象？ 将圆O平均分成12等份，角的弧度数依次取0、，借助正弦线依次做出函数图像上的(0, )、(, )、 、(, )，用一条光滑的曲线依次连接，即可得到函数的图象。 还有什么简便的画出函数图象的方法吗？ 能否从图像中探究三角函数的相关性质呢？ 这将是本节课学习的重点内容。 新知探究 新知探究（一）：正弦函数与余弦函数的图象与性质 正弦函数的图象称为正弦曲线，在区间[0,2]对曲线的升降起伏起关键作用的主要有五个点（最高点、最低点、与的交点）： (0,0)、(,1)、(,0)、(,-1)、(2,0) 在精度要求不太高时，只要画出这五个点，曲线的大致形状就基本确定，将它们依次连成光滑曲线，即可得到正弦曲线的简图，这种近似画法叫作“五点法”。 由，可知只需要将的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象： · 观察函数图象，试从周期性、值域与最值、奇偶性、单调性四个方面探究正弦函数、余弦函数的性质。 · 周期性： 一般地，对于函数，如果存在非零常数T，使得当取定义域内每一个值时，都有定义，并且，则称这个函数为周期函数，T称为这个函数一个周期。 从图象可以看出，、均为周期函数，其中2及2的所有非零整数倍都是它们的周期。即2是、的最小正周期，简称周期。 · 值域与最值： 从三角函数的定义和图象可知:正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]，最大值都是1.最小值都是-1，具体地: 对于正弦函数，当且仅当时取得最大值1, 当且仅当时取得最小值- 1; ▼对于余弦函数，当且仅当时取得最大值1， 当且仅当时取得最小值- 1. · 奇偶性： 奇偶性可以从图象和诱导公式两个角度进行考虑: 观察函数图象: 正弦曲线关于原点0对称，因此正弦函数是奇函数; 余弦曲线关于y轴对称，因此余弦函数是偶函数。 诱导公式: 由知正弦函数是奇函数; 由知余弦函数是偶函数。 · 单调性： 可在一个周期的区间内进行讨论，再利用周期性扩展到整个定义域。 正弦函数： 在闭区间[上是增函数，函数值从-1增加到1； 在闭区间[上是减函数，函数值从1减小到-1。 余弦函数： 在闭区间[上是减函数，函数值从1减小到-1； 在闭区间[上是增函数，函数值从-1增加到1。 练一练： 求函数的最大值及取得最大值时自变量的集合。 解:令z= 2，则使得函数取得最大值的z的集合为: ∴ 此时，最大值为2 新知探究（二）：正切函数的图象与性质 正切曲线被互相平行的直线所隔开的无数条曲线组成 讨论:正切函数的图象如上所示，按照分析正弦函数、余弦函数性质的思路，试着谈谈正切函数的相关性质。 周期性: 由诱导公式 可知正切函数是周期函数， ()是它的周期，是正切函数的最小正周期。 值域与定义域: 由图可见，正切函数的值域是实数集R，正切函数没有最值， 定义域为。 奇偶性: 从图象(正切曲线关于原点对称)和诱导公式( )两个角度，可知正切函数是奇函数。 单调性: 从图象可知，正切函数在每个开区间( ) ()内单调递增。 练一练： 利用函数的单调性，比较tan (- 3)与tan (- 3.1)的大小。 解： ∵ 且正切函数在 )单调递增 ∴tan(-3)>tan(-3.1) 典型例题 典型例题 1、函数的图象( B ) A.关于原点对称 B.关于点(-,0)对称 C.关于轴对称 D.关于直=对称 2、下列函数中，最小正周期为且图象关于直线=对称的是（ C ）。 A. B. C. D. 3、若的值是（ B ）。 A. B. C. D. 拓展提高 已知，，则的值是多少？ 解： 令,则= ,代入,得=, =, 所以=1,整理得 解得=-1. 学生和教师共同探究完成3