5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本同步练通过“基础过关+能力提升”分层设计，以三角函数图象与性质为核心，从单一知识点应用到综合性质探究，梯度递进巩固知识，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|三角函数图象（五点法、定义域）、性质（周期性、奇偶性、单调性、最值）|选择/填空/解答题结合，如五点法作图、定义域求解，夯实概念理解与基本运算| |能力提升练|性质综合应用（对称中心、参数范围）、图象交点与零点|含多选题与开放题，如对称中心参数计算、函数零点与图象交点综合，深化推理与模型构建|

5.3　三角函数的图象与性质 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 基础过关练 题组一　正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象及其应用 1.用“五点法”作函数y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　) A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1) B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1) C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1) D.(0,1),,,, 2.(教材习题改编)函数y=sin在区间上的图象是　(　　) 3.(2024陕西西安期末)函数y=的定义域为(　　) A. B.,k∈Z C.,k∈Z D.R 4.函数f(x)=sin +ln x的零点个数是(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 5.(2024山东青岛期末)当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为(　　) A.π　　　　B.2π　　　　C.3π　　　　D.4π 6.(多选题)(2024江苏江都中学期中)下列x的取值范围能使cos x>sin x成立的是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D.∪ 题组二　正弦(型)函数、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与对称性 7.(2024黑龙江牡丹江一中期末)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴方程为(　　) A.x=　　　　B.x=　　　　C.x=　　　　D.x= 8.(2025江苏淮安调研)已知函数f(x)=sin(2x+φ),x∈R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 9.(多选题)已知函数f(x)=2sin(-x),则下列结论中正确的有(　　) A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)的一个周期为2π C.函数f(x)图象的一个对称中心为(π,0) D.函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ(k∈Z) 题组三　正弦(型)函数、余弦(型)函数的单调性与最值 10.(2024重庆联考)下列关于函数y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性的叙述正确的是(　　) A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数 B.在和上是增函数,在上是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数 D.在上是增函数,在和上是减函数 11.(2025安徽部分学校期末)函数y=sin的值域为(　　) A.[0,1]　　　　B. C.　　　　D. 12.(2024陕西西安高新一中月考)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　B.　　　　C.(0,1]　　　　D.[1,+∞) 13.(多选题)(2025辽宁沈阳广全实验学校月考)下列不等式中成立的是(　　) A.sin 1<sin　　　　B.cos>cos 2 C.cos(-70°)>sin 18°　　　　D.sin>sin 14.(2024江苏盐城期中)函数f(x)=2sin在[0,π]上的单调递增区间为　　　　.  15.(2025江苏扬州期末)函数y=sin2x-cos x+1的值域为　　　　.  16.(2024湖南株洲二中期末)f(x)=的单调递减区间是　　　　　　.  17.(2024甘肃嘉峪关期末)已知函数f(x)=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-. (1)求a,b的值; (2)求函数g(x)=-4asin的最小值,并求出取最小值时x的取值集合. 能力提升练 题组一　正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象与性质 1.设函数f(x)=sin,若点是函数f(x)图象的对称中心,则实数m的值可以为　(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.- 2.(2025甘肃天水第二中学检测)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(　　) A.[-1,1]　　　　B.(1,3) C.(-1,0)∪(0,3)　　　　D.[1,3] 3.函数f(x)=2的单调递减区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 4.(2025甘肃靖远第一中学期末)设函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)≤f 对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　.  5.(2025甘肃白银期末)已知ω∈N+,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的最大值为　　　　　.  题组二　正弦(型)函数、余弦(型)函数性质的综合应用 6.(多选题)(2025河南南阳第一中学开学考试)已知函数f(x)=cos x+,则(　　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于点中心对称 7.(多选题)(2025湖南长沙实验中学期末)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列选项正确的是(　　) A. f(x)的最小正周期是2π B. f(x)在区间上单调递减 C. f(x)在[-π,π]上有4个零点 D. f(x)的最大值为2 8.设函数f(x)=Asin(2x+φ),函数f(x)的最小值为-2,且x=为函数f(x)的一个零点. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若对任意的x∈,不等式f(x)>m-3恒成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　 2.A　当x=0时,y=sin=-<0,故排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,故排除C. 3.C　要使函数y=有意义,应满足cos x≥,结合余弦函数的图象可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z, 所以函数的定义域为,k∈Z. 4.B　函数f(x)=sin +ln x的零点个数,即y=-sin (x>0)与y=ln x的图象的交点个数,在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图: 结合图象可知,两个函数图象的交点有1个,因此函数f(x)=sin +ln x的零点有1个. 5.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象如下, 由图可得,函数f(x)=sin x的图象和g(x)=|cos x|的图象在(0,2π)上有两个交点. 当x∈时, f(x)=g(x)即sin x=cos x,则tan x=1,所以x=, 当x∈时, f(x)=g(x)即sin x=-cos x,则tan x=-1,所以x=, 故所有交点的横坐标之和为+=π. 6.AC　在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,如图, 在[0,2π]内,当cos x=sin x时,x=或x=,结合图象可知满足cos x>sin x的x的取值范围是∪. 7.D　令x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.结合选项可知D正确. 8.A　若f(0)=0,则sin φ=0,则φ=kπ,k∈Z, 所以f(x)=sin(2x+kπ)=±sin 2x,则f(x)为奇函数. 若f(x)为奇函数,则f(0)=0. 所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 9.ABC　因为f(x)的定义域是R,关于原点对称,且f(-x)=2sin x=-2sin(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故A正确;因为f(x+2π)=2sin[-(x+2π)]=2sin(-x)=f(x),所以f(x)的一个周期为2π,故B正确;函数f(x)图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),所以(π,0)是f(x)图象的一个对称中心,故C正确;函数f(x)图象的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z),故D错误. 10.D　因为y=4sin x的单调递增区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z, 所以函数y=4sin x在上是增函数,在和上是减函数. 11.C　由0≤x≤,得≤2x+≤,则y=sin∈. 12.C　当x∈时,ωx+∈, 由于函数f(x)=sin在区间上单调递增,所以+≤,又ω>0,所以0<ω≤1,则ω的取值范围是(0,1]. 13.ACD　对于A,∵y=sin x在上单调递增,且0<1<<,∴sin 1<sin,故A正确; 对于B,∵y=cos x在上单调递减,且<2<<π,∴cos<cos 2,故B错误; 对于C,∵cos(-70°)=cos 70°=sin 20°,且sin 20°>sin 18°,∴cos(-70°)>sin 18°,故C正确; 对于D,∵sin=sin=sin,sin=sin=sin,且sin<sin,∴sin>sin,故D正确. 14.答案　和 解析　f(x)=sin=-sin, 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 则f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 令A=,k∈Z,B=[0,π], 当k=0时,A=,则A∩B=; 当k=1时,A=,则A∩B=. ∴f(x)在[0,π]上的单调递减区间为和. 15.答案　 解析　y=2-cos2x-cos x=-+, 又cos x∈[-1,1], 所以当cos x=-时,ymax=;当cos x=1时,ymin=-+=0,所以函数的值域为. 16.答案　,k∈Z 解析　函数f(x)的定义域满足sin x≥,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的定义域为,k∈Z, 又y=在[0,+∞)上单调递增,故f(x)的单调递减区间即为y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间,易知y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间为,k∈Z, 所以函数f(x)=的单调递减区间为,k∈Z. 17.解析　(1)由题意知cos∈[-1,1].∵b>0, ∴∴ (2)由(1)知a=,b=1,∴g(x)=-2sin. ∵sin∈[-1,1],∴g(x)∈[-2,2]. ∴g(x)的最小值为-2,此时sin=1,则x-=2kπ+,k∈Z,∴x=2kπ+,k∈Z,故g(x)取最小值时x的取值集合为xx=2kπ+,k∈Z. 能力提升练 1.A　∵点是函数f(x)图象的对称中心, ∴m-=kπ,k∈Z,则m=k+,k∈Z, 分别令k=-1,0,1,2,得m=-,,,. 2.B　当x∈[0,π]时,sin x≥0,则f(x)=sin x+2|sin x|=sin x+2sin x=3sin x, 当x∈(π,2π]时,sin x≤0,则f(x)=sin x+2|sin x|=sin x-2sin x=-sin x,故f(x)= 作出函数f(x)的大致图象,如图, 由图可知k∈(1,3). 3.D　f(x)=2=2, 易知f(x)是由y=2,t=cos复合而成的,因为y=2在定义域上单调递增,所以要想求f(x)的单调递减区间,只需求t=cos的单调递减区间,且保证cos≥0即可, 则2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z). 4.答案　 解析　因为f(x)≤f 对任意的实数x都成立,所以f(x)的最大值为f , 则ω-=2kπ+(k∈Z),可得ω=12k+(k∈Z). 因为ω>0,所以当k=0时,ω取最小值,最小值为. 5.答案　10 解析　因为x∈, 所以ωx+∈, 设t=ωx+,则y=sin t在上单调递减, 所以k∈Z, 解得+8k≤ω≤4+6k,k∈Z, 又ω∈N+,所以k∈Z,解得k=0或k=1, 当k=0时,ω∈,当k=1时,ω∈, 所以ω的最大值为10. 6.BCD　∵cos x≠0,∴x≠kπ+,k∈Z,令t=cos x,则t∈[-1,0)∪(0,1],易知y=t+在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递减,∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∴f(x)没有最小值,故A错误; ∵x≠kπ+,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称, 又f(-x)=cos(-x)+=cos x+=f(x), ∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故B正确; f(π+x)=cos(π+x)+=-cos x-, f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-,∴f(π-x)=f(π+x),∴f(x)的图象关于直线x=π对称,故C正确; f =cos+=sin x+, -f =- =sin x+,∴f =-f ,∴f(x)的图象关于点,0中心对称,故D正确. 7.BD　选项A,令x=-,得f=sin+=+=1, f=sin+=-+=0,此时f(x)≠f(x+2π),故A错误; 选项B,当x∈时,sin x>0,所以f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,则f(x)在区间上单调递减,故B正确; 选项C,f(x)=sin|x|+|sin x|= 若x∈[-π,0),令f(x)=0,得-2sin x=0,解得x=-π, 若x∈[0,π],令f(x)=0,得2sin x=0,解得x=0或x=π, 所以函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误; 选项D,因为sin|x|≤1,|sin x|≤1,所以f(x)=sin|x|+|sin x|≤2, 又f=sin+=2,所以f(x)的最大值为2,故D正确. 8.解析　(1)因为A>0,函数f(x)的最小值为-2,所以A=2. 又因为x=为函数f(x)的一个零点,所以+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z. 因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin. 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)当x∈时,2x+∈, 所以≤sin≤1,所以1≤f(x)≤2, 所以要使f(x)>m-3对任意的x∈恒成立, 只需f(x)min>m-3,即m-3<1,解得m<4. 故实数m的取值范围为(-∞,4). 17 学科网（北京）股份有限公司 $