3.2函数的基本性质教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《函数的基本性质》教案 课题 3.2函数的基本性质 单元 第三单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解函数的基本性质 2.数学建模：掌握函数的相关知识，为函数的学习打好基础的同时，也能学习利用函数解决实际问题 3.直观想象：理解函数的单调性及最值 4.数学运算:能根据实际问题的意义以及函数关系式确定函数的奇偶性 重点 难点 重点：理解单调性与奇偶性形式化定义的形成原理 难点：利用单调性和奇偶性判断函数的相应性质 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 如图，是某地一天中温度的变化曲线， 试着描述该曲线的趋势。 一天中的温度在4时与14时分别达到最高温度-2℃和最低温度9℃，4时与14时之间，温度一直呈上升趋势，14时之后温度总体呈下降趋势。 新知探究 新知探究（一）：函数的单调性与最值 观察函数的图象，回答下列问题： （1）当时，的值随着的增大而__减小____； 当时，的值随着的增大而___增大___； （2）试着描述该曲线的趋势。 当时，曲线呈下降趋势，在，即最小值；当时，曲线呈上升趋势。 经过刚才的分析，你发现了什么规律？ 若一个函数在某个区间内图象呈上升趋势，则函数值随自变量的增大而增大；若一个函数在某个区间内图象呈下降趋势，则函数值随自变量的增大而减小。 · 如果对于上的任意两个值，当时，都有，就称是区间上的增函数，也称在区间上单调递增，如图1所示； · 如果对于上的任意两个值，当时，都有，就称是区间上的减函数，也称在区间上单调递减，如图2所示。 由此，我们可以得到函数单调性的定义： 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调区间。 在一个函数图象中，往往会发生单调性的变化，即在某个区间内是增函数，在另外区间内是减函数，这一变化就会使得函数出现最大值或最小值。 函数的最值定义如下： · 如果有成立，就说在处取到最大值，称为的最大值，为的最大值点。 · 如果有成立，就说在处取到最小值，称为的最小值，为的最小值点。 最大值与最小值统称为最值。 练一练： 证明：定义在上的函数是增函数。 证明：设是任意两个实数，且，则 ∴ 由函数单调性的定义可知，函数 1、函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，求出单调区间后再判断增减性，是求最值和值域的前提； 2、判断函数单调性的方法： （1）定义法； （2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； （3）如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一子区间上也是增（减）函数； （4）如果那么是增函数， 如果相反，那么是减函数。 新知探究（二）：函数的奇偶性 观察下面两个图象，他们各有什么特点？ 两个图象都是以轴为对称轴的轴对称图形 两个图象都是以原点为中心的中心对称图形 以上两组函数图象的奇偶性也可以用符号语言表示： · 能否由此总结出奇函数、偶函数的定义呢？ 相关定义如下： （1）如果对一切使也有定义，并且为偶函数； （2）如果对一切使也有定义，并且为奇函数. 练一练： 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4） 答案：（1）既是奇函数，又是偶函数； （2）偶函数； （3）非奇非偶函数； （4）非奇非偶函数. · 判断函数奇偶性的方法步骤： （1）求函数的定义域。若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则用定义法判定； （2）求之间的关系； （3）判断：若，则为偶函数； 若，则为奇函数； （4）分段函数的奇偶性应分段讨论. 典型例题 典型例题 1、下图是函数图象，列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点。 答案：减区间为； 增区间为； 最大值点为，最小值点为. 2、已知是定义在[]上的增函数，且，求的取值范围。 解：∵ 上的增函数，且有 ∴ 解得 3、求函数的单调区间. 解：原函数可化为： ∴ 由图象可知，函数的单调区间为 其中， 为减区间， 为增区间. 拓展提高 解决下列问题： （1）已知上是减函数，求实数的范围； （2）已知增函数，求实数的取值范围. 答案：（1）； （2）. 解：（1）要使在上是减函数， 由二次函数的图象可知： 只要