2.3一元二次不等式教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《一元二次不等式》教案 课题 2.3一元二次不等式 单元 第二单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解一元二次不等式的概念 2.数学建模：掌握不等式的相关知识，为不等式的学习打好基础的同时，也能学习利用不等式解决实际问题 3.数学运算:运用一元二次不等式来解决问题 重点 难点 重点：二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的联系 难点：一元二次不等式解集的表现形式与二次函数的开口方向，△的取值范围之间的关系 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 问题：某杂志每本的成本为3元，现定价5元，发行量为10万本。杂志社为了扩大发行量，准备略降低单价，据市场调查知，若单价每降低0.1元，发行量就相应增加1万本。要使总利润不会减少，则杂志的定价应在什么范围？ 分析：设杂志的单本定价为元（），单价每降低0.1元，发行量就相应增加本，即单价每降低一元，发行量就相应增加本。 据此，可列表如下： 要使总利润不低于降价前的总利润，就有： 整理得： 只要求得以上不等式的解集，就得到了问题的答案。 新知探究 新知探究（一）：一元二次不等式及其解法 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 思考一下，如何求前面的一元二次不等式呢? 解一元二次方程，得两个实数根： 函数图像如下： 观察图象可知： 当； 当时，函数图象位于； ∴一元二次不等式的解集是： 通常三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集： 练一练： 解不等式. 解：方程有两个不相等的实数根： 函数图象如图所示： 与有两个交点 由图象得不等式的解集为： · 解一元二次不等式的基本步骤： （1）确定一元二次方程的根； （2）画出对应二次函数的大致图象； （3）由图象得出不等式的解集. 注意：对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解。 新知探究（二）:一元二次不等式的应用 我们将通过具体实例的分析和求解，体会一元二次不等式的实际应用。 【例题】 某产品的总成本(万元)与产量(台)之间满足如下关系式： （， ） 若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？ 根据题意可得： 整理得： 方程有两个不相等的实数根 由图象得不等式的解集为： 在这个实际问题中，的最小值为150，即生产者不亏本时的最低产量为150台。 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是： （1）理解题意，分析清楚量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式得到实际问题的解。 典型例题 典型例题 1、解不等式. 解：方程有两个相等的实数根: 函数的图象如图所示： 观察知，与轴仅有一个交点 由图象得不等式的解集为： 2、解不等式. 解：原不等式可化为： 即 ∴ 故原不等式的解集为. 3、已知不等式的解集为，求实数的值。 解：由一元二次不等式解集的结构知： 的两个实数根 ∴ 解得 拓展提高 某化学试剂生产厂以 kg/h的速度运输生产某种产品（生产条件要求边生产边运输，且），每小时可获得利润元。 （1）要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3000元，求的取值范围； （2）要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选择何种运输生产速度？并求出最大利润。 答案：（1）； （2）运输生产速度为6 kg/h时，该工厂获得的利润最大， 最大利润为457500元。 解：（1）依题意可得： 即 ∵ ∴ 即 解得 结合知，. （2）设 ∴ 当，即运输生产速度为6 kg/h时，该工厂获得的利润最大，最大利润为457500元。 学生和教师共同探究完成2个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. 课堂小结 1. 一元二次不等式及其解法； 1. 一元二次不等式的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$