2025届高三数学一轮复习夯实练40：数列中的构造问题

一轮复习夯实练40　数列中的构造问题 基础练 1.(2024·宁夏六盘山模拟)已知数列{an}中,a1=4,an+1=4an-6,则an等于(　　) A.22n+1+2 B.22n+1-2 C.22n-1+2 D.22n-1-2 2.(2024·江苏盐城高三期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则a6的值为(　　) A.220 B.224 C.21 024 D.24 096 3.(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}中,a1=1且an+1=(n∈N*),则a16为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)(2024·广东顺德一中校考)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=,则下列结论正确的是(　　) A.b3=4 B.{bn}是等差数列 C.b4=16 D.an=n·2n-1 5.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,an+1+an=2n+3,且Sn=1 450,若a2<4,则n的最大值为(　　) A.50 B.51 C.52 D.53 6.(2024·广西梧州模拟)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=,则{an}的通项公式为　　　　.  7.(2024·江西景德镇模拟)已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则数列{an}的通项公式为　　　　　.  8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  9.设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  10.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,求{an}的通项公式. 提升练 11.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 12.已知数列{an}满足an+1=2an+4·3n-1,a1=-1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  13.已知a1=3,an+1=,求{an}的通项公式. 创新练 14.用砖砌墙,第一层用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,……以此类推,每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块,到第10层恰好把砖块用完,则此次砌墙一共用了　　　　块砖.  参考答案 1.C　解析 因为an+1=4an-6,所以an+1-2=4(an-2),所以=4,又a1-2=2,所以数列{an-2}是一个以2为首项,以4为公比的等比数列,所以an-2=2×4n-1,所以an=22n-1+2. 2.C　解析 an+1=,a1=2,易知an>0,故ln an+1=4ln an,故{ln an}是首项为ln 2,公比为4的等比数列,ln an=4n-1·ln 2,ln a6=45·ln 2=ln 21 024,故a6=21 024. 3.A　解析 由an+1=,又=1,∴数列{}是以1为首项,为公差的等差数列,=1+(n-1)=,∴an=,∴a16= 4.AD　解析 由条件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,故B错误;可得bn==2n-1,所以an=n·2n-1,故D正确;则b3=4,b4=8,可知A正确,C错误.故选AD. 5.B　解析 ∵an+1+an=2n+3,∴an+1-(n+2)=-(an-(n+1)),∴{an-(n+1)}是以-1为公比的等比数列,∴an-(n+1)=(a1-2)·(-1)n-1,an=(n+1)+(a1-2)·(-1)n-1,∴Sn=[2+3+…+(n+1)]+(a1-2)[1+(-1)+(-1)2+…+(-1)n-1]=+(a1-2)当n为偶数时,Sn==1 450无解,当n为奇数时,Sn=+a1-2=1 450,∴a1=1 452-,又a1+a2=5,∴a2=5-a1<4,即a1>1,即n(n+3)<2 902,y=n(n+3)在N*上是增函数,又n为奇数,51×54=2 754<2 902,53×56=2 968>2 902,故n的最大值为51. 6.an=　解析 由an+1=,两边取倒数得=3+,即=3,又因为,所以{}是首项为,公差为3的等差数列,所以+3(n-1)=,故an= 7.an=n·2n-1　解析 当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则=2,而=1,因此数列{}是以1为首项,2为公比的等比数列,则=1×2n-1=2n-1,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1. 8.an=3n-2n　解析 an+1=2an+3n两边同除以3n+1,得,令bn=,则bn+1=bn+,设bn+1+λ=(bn+λ