2023年马其顿国家队选拔考试数学试题

1 2023 年马其顿国家队选拔考试 程国根 译 第一天 1.对正整数 n > 1，记 s(n)为 n的最小素因子，d(n)为 n的正约数个数．能 否选取 2023个正整数 a1, a2, · · · , a2023，其中 a1 < a2−1 < · · · < a2023−2022，使 得对任意 k = 1, 2, · · · , 2022，都有 d(ak+1−ak−1) > 2023k，s(ak+1−ak) > 2023k? 2. 在锐角 △ABC 中，AB < AC，AB < BC．点 P 在线段 BC 上，满足 ∠APB = ∠BAC．△ABC 的外接圆在点 A 处的切线交 △APB 的外接圆于点 Q（异于 A），设点 Q′ 和点 Q 关于 AB 的中点中心对称．直线 PQ 和线段 AQ′ 交于点 S．求证： 1 AB + 1 AC > 1 CS . 3. 设 f：N → N 单调递增，且满足对任意 n ∈ N，都有 f(f(n)) = n2．求 f(2023) 的最大值和最小值． 第二天 4. 函数 f：R2 → R 满足：对任意平面上的单位正三角形，其顶点 A,B,C 满足 f(A) + f(B) + f(C) = 0．求证：对任意 x ∈ R2，f(x) = 0． 5.设 Q(x) = a2023x2023+a2022x2022+ · · ·+a1x+a0 ∈ Z[x]为整系数多项式． 对奇素数 p，定义多项式 Qp(x) = a p−2 2023x 2023 + ap−22022x 2022 + · · · + ap−21 x + a p−2 0 ． 问：是否存在无穷多少个素数 p，使得对任意 x ∈ Z，Qp(x)−Q(x) p 均为整数？ 并在所有这样的多项式 Q 中，求 Q(2023) 的最大值． 6.Lucky 和 Jinx 各得到了一张纸，纸上有正 2023 边形的所有 2023 个顶 点．然后，他们的任务是将所有连接这些点的线段染色，使得其中不存在三边同 色或三边均不同色的三角形，也不存在四边同色的四边形（可以不是凸四边形）． 完成染色后发现，Jinx 用的颜色至少比 Lucky 多了两种，他们每个人各用了几 种颜色？