正余弦定理解答题专项训练-2024届高三数学二轮复习

正余弦定理解答题训练 1．的内角、、的对边分别为、、． (1)请利用向量方法证明：； (2)若为锐角三角形，请利用向量方法证明：. 2．已知中，角所对的边分别为，且. (1)求的值. (2)若的面积，且，求的外接圆半径. 3．在中，内角，，的对边分别是，，.已知. (1)求角； (2)若是钝角三角形，且，求边的取值范围. 4．记的三个内角分别为，，.其对边分别为，，，若，的面积为. (1)求； (2)若，求. 5．的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若点D在BC边的延长上，且，证明：. 6．如图，在中，，，，在线段上，且    (1)若，求的周长； (2)若的面积是面积的求． 7．将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记． (1)对于图1，请写出矩形面积关于的函数解析式； (2)对于图2，请写出矩形面积关于的函数解析式；（提示：） (3)试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？ 8．（1）用两种以上的方法证明正弦定理． （2）仿照正弦定理的证法证明，并运用这一结论解决下面的问题： ①在中，已知，，，求； ②在中，已知，，，求b和； 9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若点D在AC上，且，求． 10．已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)已知是的中线，求的最小值． 11．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，求. 12．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．判断的形状并给出证明； 13．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．判断的形状； 14．在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，． (1)若，求c； (2)若，求的值． 15．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答. 问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________. (1)求； (2)若的外接圆半径为2，且，求. 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分. 16．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 17．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求A的大小： (2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值. 18．记的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 19．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值. 20．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且． (1)求证：； (2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围． 试卷第4页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 答案第8页，共9页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正余弦定理解答题训练 答案 一、解答题 1．的内角、、的对边分别为、、． (1)请利用向量方法证明：； (2)若为锐角三角形，请利用向量方法证明：. 解析1）证明：在中，， 所以，， 即； （2）证明：过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为， 与的夹角为，    因为，且，则，即， 所以，，即， 因为为锐角三角形，则，同理可证， 因此，. 2．已知中，角所对的边分别为，且. (1)求的值. (2)若的面积，且，求的外接圆半径. 解析（1） . （2），，所以. 因为b=2，所以，解得. 所以， 因为，解得. 3．在中，内角，，的对边分别是，，.已知. (1)求角； (2)若是钝角三角形，且，求边的取值范围. 解析（1），则， 又，则且，可得， 由，故. （2）由，即，又是钝角三角形且，故为钝角， 则，故. 4．记的三个内角分别为，，.其对边分别为，，，若，的面积为. (1)求； (2)若，求. 解析（1）由余弦定理知： 在中，， ，即 又 ，即 . （2）由（1）知，则角为锐角. ， . 由正弦定理知：，则，. . 又，， . 5．的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若点D在BC边的延长上，且，证明：. 解析（1）因为， 由正弦定理得， 又， 所以化简为. 又，所以. 因为，所以. （2）因为， 所以，