第七章 复数 单元基础讲义-2023-2024学年高一下学期数学基础巩固系列人教A版（2019）必修第二册

莫道桑榆晚，为霞尚满天 专题2.1---单元复习基础讲义 第七章 复数 基础知识 【7.1】复数的概念 Ⅰ.知识点梳理 1、数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 当b=0时，a+bi表示实数； 当b≠0时，a+bi表示虚数； 当a=0，b≠0时，a+bi表示纯虚数。 {纯虚数}{虚数}，{实数}∪{虚数}={复数}=C 2、复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为 或 . ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部 ，虚部互为 时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小。 Ⅱ.精选例题 例1-1若复数(i为虚数单位)为纯虚数，则实数x的值为（ ） A．1 B．2 C． D．1或 例1-2设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为（3,4）， 则（ ） A． B． C． D． 例1-3设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（　　） A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0 B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2 C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a D．如果|z1|＝a，a是正实数，那么 Ⅲ.针对练习 1-1.已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________． 1-2.已知i为虚数单位，复数 ，则z在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1-3.已知复数 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1-4.下列命题： ①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数； ②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 学习笔记 【7.2】复数的四则运算 Ⅰ.知识点梳理 1、复数的加、减运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝ ，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ③加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝ ，（z 1＋z 2）＋z 3＝ . ④复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. （2）复数的减法法则 ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝ ，两个复数的差是一个确定的复数. ②复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 2、复数的乘、除运算 （1）复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝ . ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝ 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝ 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝ （2）复数的除法运算 设z